2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题A
学校： 姓名： 营员证号：____
一.在
中，a+c=3b,内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E。设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.
求证：A，C，K，L四点共圆。
二.设
，且对任意
都有
│
证明：
三．求函数
满足：
以及
│
│
│
│，
四.设
！，能否把1到
的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去？
2005年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训
测试题A解答
学校： 姓名： 营员证号：____
一. 在
中，a+c=3b,内心为I，内切圆在AB，BC边上的切点分别为D，E, 设K是D关于点I的对称点，L是E关于点I的对称点.
求证：A，C，K，L四点共圆.
证：设直线BI交的外接圆点P，易知P是
的中点。记AC的中
为M，则PM
AC。设P在直线DI的射影为N
由于
则半周长
，
则
又
所以
∽
，且相似比为2
熟知；
。又∽
，
所以
，即N是IK的中点
进而
，
所以
都在以P为圆心的同一个圆周上
二. 设
，且对任意
都有
│
证明：
证：假设
，则
取素数
，又取
由费马小定理
，从而
进而
，即
但
，矛盾
三．求函数
满足：
以及
│
│
│
│，
解：取
得
时，可改写为：
特别地，对任意
，及
，有
：
则
从而
令
，得
即
四. 设
！，能否把1到的正整数摆在一个圆周上，使得我们沿着顺时针方向移动时，每一个数都能按如下的法则由前一个数得到：或者把它加上17，或者加上28，如果必要的话，它可以减去？
解：不能！假设存在合乎要求的摆法。
将
按题述“运算”变为
，筒记为：
题中运算是指取模的最小正剩余。
若
，则不可能有：
否则圆周出现重复的数，故必有；
进而
若
，类上知必有
这表明：当
时，对
，作同一种运算。
由于在任何12个相连放在圆周上的数中，必有两个数模11同余，
设，从到作了s次运算
，由前所述易知所作运算以s为周期
取一个周期，将所有s个加数相加的和记为
，则
故︱
则经
次运算后，所得数与开始时的数相同，但<，矛盾！