重庆南开中学高2006级2005-2006学年度2月月考
数学试题（理 科）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数
是
Ａ．周期为
的奇函数
Ｂ．周期为的偶函数
Ｃ．周期为
的奇函数 Ｄ．周期为的偶函数
2．函数
（常数
）的大致图像是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别
是CC1、C1D1的中点，则异面直线EF与BD所
成的角的大小为
Ａ．75° Ｂ．60°
Ｃ．45° Ｄ．30°
4．下列命题中正确的是
Ａ．底面是矩形的平行六面体是长方体 ；
Ｂ．棱长都相等的直四棱柱是正方体；
Ｃ．侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体；
Ｄ．对角线相等的平行六面体是直平行六面体；
5．两个正数
的等差中项是
，等比中项是
，且
，则椭圆
的离
心率
等于
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．函数
的图像按向量
平移后的图像的一个中心对称点为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7．设地球的半径为R，已知赤道上两地A、B间的球面距离为
，若北半球的C地与A、B两地的球面距离均为
，则C地的纬度为
Ａ．北纬45° Ｂ．北纬60° Ｃ．北纬30° Ｄ．北纬75°
8．有下列四个命题：
①“直线
”的充分不必要条件是“
垂直于
在平面
内的射影”．
②“
∥
且
∥
”是“
”的必要不充分条件．
③“直线
平面
”的充要条件是“直线平面内的无数条直线”．
④“平面
的斜线段
在的射影
与
相等”是“
”的充要条件．
其中正确命题的个数是
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．0
9．已知为O原点，点
在单位圆
上，点
满足
，则
Ａ．
Ｂ． 
Ｃ．
Ｄ．
10．已知平面∥平面
，直线
，且
，平面、平面间的距离为5，则在 内到点
的距离为13且到直线
的距离为
的点的轨迹是
Ａ．四个点 Ｂ．两条直线 Ｃ．双曲线的一支 Ｄ．一个圆
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．若球的体积是
，则其表面积为
12．点
到直线
的距离等于，且在不等式
表示的平面
区域内，则点
的坐标是___________
13．等比数列
中，
，则
14．若
，则圆锥曲线
的焦点坐标为
15．若二面角
的平面角大小为
，直线
⊥
，则平面
内的直线与所成角的取值范围是
16．ABCD-A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每爬完一
条棱称为“爬完一段”．白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚂蚁爬行的路线是AB
→BB1→…，它们都遵循如下规律：所爬行的第
段与第
段所在直线必须是异面直
线（其中是自然数）．设黑、白蚂蚁都爬完
段后各自停止在正方体的某个顶点处，
此时黑、白蚂蚁的距离是
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）如图，正三棱柱
中
点
、 
分别是
和
的中点，
（1）求证：
∥平面
；
（2）若
⊥
于点
，求证：
⊥．
18．（12分）
且
时，解关于x的不等式
．
19．（13分）海岛上有一座海拔1000米的山，山顶上设有
一个灯塔A，上午11时，灯塔A处的值班员测得一匀
速行驶的轮船在岛北偏东60°的C处，由A观察C的
俯角为30°，11时10分又测得该船在岛北偏西60°
的B处，由A观察B的俯角为60°．
（1）求该船的速度 (单位：千米／小时) ；
（2）轮船在沿航线CB航行中，船上的瞭望员随时观测
灯塔发出的导航信号，试问瞭望员在整个观测过程中，观测仰角最大是多少？
20．（13分）如图，在四棱锥
中，
底面
，底面是直角梯形，
，
，
，
，
与底面成
角．
（1）求点
到平面
的距离；
（2）求二面角
的平面角的大小；
| |
21．（13分）已知△
的面积为
，且
，
（1）设
，求向量
与
夹角
的取值范围；
（2）设以
为中心，为焦点的双曲线经过点
（如图），若
，
，当
取最小值时，求此
双曲线的方程．
22．（13分）设函数
定义域为
，当
时，
，且对于任意的
，有
成立．数列
满足
，且 
．
(1) 求
的值；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 是否存在正数
，使
对一切
均成
立，若存在，求出的最大值，并证明，否则说明理由．
重庆南开中学高2006级2月月考（理科）参考解答
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| A | A | B | D | C | B | A | D | A | A |
11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、证明：（1）∵E、F分别是正三棱柱中AB1和AB的中点，
∴BB1∥FE 又BB1
平面EFM，FE
平面EFM，
∴BB1∥平面EFM
（2）∵正三棱柱的侧棱BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥BC
∵BB1∥FE ∴BC⊥FE
又∵MF⊥BC ∴BC⊥平面EFM
∴BC⊥ME
18、解：由
解得
①当时，原不等式等价于
即有
解之得
；
②当
时，原不等式等价于
即有
解之得
；
综上所述：①当时，解集为
；②当时，解集为
．
19、解：（1）A在海平面上的射影为O，由题意得
（千米）
（千米），又△
中∠
由余弦定理可得
（千米），所以该船速度为
船＝
（千米／小时）
（2）设点E是CB上的一点，则由AO⊥面BOC得∠AEO即为瞭望员观测灯塔A的仰角，
在Rt△AOE中
，欲使∠AEO取最大值，则OE应取最小值．
当OE⊥CB时，OE可取最小值．
由
可得
∴
∴瞭望员观测灯塔A的仰角最大为
．
20、解：（1）法一：∵PA⊥面ABCD 且AB⊥BC，AB是PB面ABCD内的射影
∴PB⊥BC (三垂线定理)
∴PB⊥面PAB 且BC面PBC
∴面PBC⊥面PAB 其交线为PB
过A在平面PAB内作AH⊥PB于H，则AH⊥面PBC
∴AH即为点A到平面PBC的距离
又∵PA⊥面ABCD
∴AD是PD在面ABCD内的射影
∴∠PDA即为PD与面ABCD所成的角，即∠PDA=30°
∵AD=3 ∴PA=
PB=2 AB=1 ∴AH=
法二：（等积法）设点A到平面PBC的距离为
∵PA⊥面ABCD ∴
P-ABC = A-PBC
即
∵AB=BC=1且∠ABC=90°∴
解得
（2）∵PA⊥面ABCD 且PA面PAC ∴面PAC⊥面ABCD 其交线为AC
过点B在平面ABCD内作BM⊥AC于M，则BM⊥面PAC
又过点M在平面PAC内作MN⊥PC于N，
连结MN，则BN⊥PC （三垂线定理）
∴∠BNM即为二面角的平面角
在Rt△PBC中
在Rt△ABC中
∴在Rt△BMN中
即二面角的平面角的大小为
（
、
）
21、解：（1）由已知，得
∴
∴
，则
（2）设所求的双曲线方程为
=1 (a>0，b>0)，点Q(x1，y1)，则=(x1－c，y1)
∵△OFQ的面积
y1=2
∴y1=±
又由·=(c，0)
(x1－c，y1)=(x1－c)c=(
－1)c2 ∴x1=c
=
≥
，当且仅当c=4时，最小．
此时Q的坐标为(,)，或(，－)．由此可得
解得
故所求方程为
=1．
22、解：(1)令
，得
，得
(2)当
时，
，∴
，∴
．
设
，且
，
，
∵，∴
，∴
，∴
，而
，
∴
，即
．∴函数在上是减函数．
由
得
，∴
，
∴
，即
．
∴是等差数列，其首项为1，公差为
，∴
(3)存在正数，使成立．
记
，则
，
∴
单调递增，∴
为的最小值，由
恒成立知
，
∴的最大值为
．