2006年考前辅导
专题 排列、组合和高三分册内容
一、要点概述
本专题的重点：
1．理解两个计数原理，理解排列、组合、二项式(a+b)n的展开式及性质，能用通项公式Tr+1=Cnran-rbr求某些特定项，掌握随机事件的概念并注意与实际问题相联系；
2．正确地写出离散型随机变量的分布列，根据分布列求出离散型随机变量的期望和方差，理解并掌握二项分布；
3．掌握根据导数定义求简单函数的导数的方法及掌握利用导数判别函数极值的方法；
4．了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示及向量表示；掌握复数代数形式的运算法则，能进行代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
本专题的难点：
1．排列组合的应用问题，二项式定理的系数性质与实际相联系的概率问题；
2．求离散型随机变量的分布列及用期望、方差解决实际问题；理解样本抽样方法解决实际问题；用样本的特征数估计总体；
3．导数概念的理解及求一些实际问题的最大值与最小值．
4．应用复数的有关概念（复数的模、共轭复数、复数相等等）解决问题，在复数的乘、除法运算中，熟练运用
的运算律，(1±i)2=±2i，1的立方根的性质等等；在解题中合理运用转化思想、分类讨论思想、整体思想处理复数问题．
掌握重点突破难点的关键是：
1．有关排列组合问题，对问题首先分清是排列问题，还是组合问题．若是排列在解题时要注意以下几点：
第一，要注意取出的m个元素是否可以重复，我们定义的排列中，m个元素是不可以重复的．但是有些应用题是可以重复的，我们简称为重复排列．由于在一个排列的每个位置上有n种选取元素的方法，根据分步计数原理，这种排列的种数是nm．第二，注意排列的有序性，不要与组合混为一谈．第三，对受限制的位置和元素应首先排列，并适当选用直接法或排除法．第四，同一个问题，有时从位置出发较为方便，有时从元素出发较为方便，应注意灵活运用．第五，从位置出发的“填空法”、对不相邻问题采用的“插空法”以及相邻问题采用的“捆绑法”，是解答排列应用题中常用的有效方法，应注意培养运用这些方法的意识．第六，注意培养“全局分类”和“局部分步”的意识，分类与分步都要做到“不重不漏”．
2．计算古典概率是概率论中最基本的问题之一．设从某一角度观察，一随机事件共有n个等可能的基本事件，而事件A含m个基本事件，则P（A）＝m/n．使用这个公式关键在于计算n和m，这往往涉及复杂的排列组合计算．但计数技巧并不是概率论的重点．实际上充分利用概率性质，通过
（1）适当选择观察角度；
（2）利用对立事件概率公式；
（3）利用对称性；
（4）利用乘法公式、独立重复试验模型等等，我们可以避免直接计算的困难，灵巧地计算出概率．
3．离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们分别反映了随机变量取值的平均值及其稳定性．
求随机变量的特征数（比如期望、方差）是实际工作中很常见的问题，其中的关键是求出它的概率分布．例如若离散型随机变量ξ的分布列已知为：
，
则ξ的数学期望和方差各为：
而为了求ξ的分布列，除了明确ξ可能的取值xi外，更重要的是求出P（ξ＝xi），因此关键还在于求事件的概率．由此可见，先用适当的方法、技巧求出P（ξ＝xi）(i=1,2，…)从而得出分布列，再利用公式通过化简求出Eξ和Dξ是经常遇到的综合题．
在现实生产生活中，如何有效地配置资源，以便达到最好的效果，这是经常遇到的问题．优化问题中经常出现随机现象，概率统计作为研究随机现象统计规律性的学科在优化问题中有着广泛的应用．
在随机环境中，表示一个方案效果的量化指标往往是随机变量，利用它们的数学期望即平均数比较不同方案的优劣是很自然的．因此期望在优化问题中有大量应用．
4．明确极限是研究微积分的最重要的工具，也是学好导数和微分、积分的基础．借助极限，我们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识准确．它把辩证唯物主义思想引进了数学领域，是一种与以前学习过的数学方法不同的全新方法，在现代数学及至物理等学科中有着广泛的应用．
5．导数是微积分的基础及重要的部分，为研究函数的性质提供了极好的方法．
（1）要理解导数概念，特别是它的几何意义和物理意义，它反映了函数在某一点的变化状态，及事物在某一时刻的变化状态．
（2）求导数有二种方法，一是利用导数定义，二是利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导，常用后一种方法．
（3）函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处一定连续，反之未必．
（4）要重视导数在研究函数问题或实际问题的应用．
①求可导函数单调区间的方法：
（ⅰ）确定函数f(x)的定义域；
（ⅱ）求方程f′(x)＝0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间；
（ⅲ）确定各小区间f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之为减区间．
②求函数极值点时，可能出现极值的点是使f′(x)＝0或使f′(x)不存在的点，注意f′(x)＝0不是有极值的充分条件．
③连续函数在闭区间上必有最值，求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小比较．
④解最值应用题时，要认真审题，分析各个量的关系，列出函数关系式y=f(x)，然后按规定步骤求函数f(x)的最值，最后根据实际意义答话．若f(x)在区间(a,b)只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．
6．复习复数时要把握以下几点：
（1）掌握好复数基本概念及形如a+bi(a、b∈R)的复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．要注意a+bi表示纯虚数时，不要忽略b≠0的条件．
（2）在进行复数运算时，不能把实数集的某些法则和性质搬到复数集上来，如不等式的性质，绝对值的定义，偶次方非负数等．要熟练掌握复数代数式的加、减、乘、除运算法则，对于乘方可利用二项式定理展开．利用复数相等的充要条件可求一个复数的平方根或立方根．
（3）处理复数问题，一般设
R)来在复数和实数间架设相互联系的桥梁，实际问题的转化，突出化归思想；利用复数z的模及共轭复数的性质（如
等）把握问题的整体结构和特征，使解题过程简捷．
（4）注意整体思想的把握和应用，熟记以下结果：
，
，
，
，
，
，
，
Z)，
等（其中
）．
二、命题走向
1．排列组合、二项式定理是每年必定考查的内容之一，以往高考试卷中主要以选择、填空两种题型出现，题量为二至三道，自从教材增加概率内容后，2000年以来的三年高考题，有二年只有一道选择题考查排列组合，二项式定理没有考过，三年来解答题必出现概率问题，根据高考命题相对稳定的原则，估计对这部分的考查仍以这种模式进行．
（1）估计对排列组合的考查仍将注重基础知识和基本运算．注重基本原理的应用，试题难度与课本习题相当或略高．考查理解问题的能力、分析解决问题的能力及分类讨论的思想．而二项式定理注重对其通项公式的考查，试题难度不大，因为前三年均没有考过二项式定理，所以未来考查二项式定理的可能性很大．
2．概率作为新增内容，高考每年一道解答题，可见其地位重要．高考要求中的三个重要点都被考过，即求等可能事件的概率，求互斥事件、独立事件的概率，求事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，未来有可能在等可能事件的概率上做些文章．
3．作为理科限选的概率与统计内容是初中数学的统计初步、高中数学必修课中概率内容的深入和扩展．事件的概率研究的是随机现象的局部问题，而随机变量的分布列及期望、方差研究的是随机现象的整体和全局问题．本内容考查的热点是利用等可能事件、互斥事件和相互独立事件等概率计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率．
4．对于函数极限和函数的连续性，若在高考中涉及，只会是对一些基本的运算和基本概念的考查．
5．导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题．本内容中导数的几何意义、求导运算、函数的单调性、极值和最值是考查重点．要掌握导数概念，会求函数的导数，会用求导法判断和论证函数的单调性，会求函数的极值与最值，会用导数解决实际问题．选择题、填空题、解答题都可能出现．
6．由于复数在整个高中数学所处地位的改变，今后高考时复数不会有太多太高的要求，试题数量稳定在一道试题，难度不会太大．复数的概念及复数的运算是复数应用的基础，是高考考查的重点；复数的运算是复数的中心内容，是高考命题的热点．另外复数的有关概念众多，涉及知识面广，易与三角、几何知识结合起来考查．
三、例题讲解
[例1]把k个不同的球随机地放入N个盒子中去（k≤N），假设每个盒子能容纳的球数不限，求下列事件的概率：
（1）指定的k个盒子各有一个球；
（2）恰有k个盒子各有一个球．
[分析]这是古典概率中的“分房问题”，把N个盒子看作“房间”，球视为“人”，问题变为将“人”分配进“房间”．
[解答]（1）记A＝“指定的k个盒子各有一个球”，因每个盒子能容纳的球数不限，故n＝Nk，m=k!，所以P(A)＝
；
（2）记B＝“恰有k个盒子各有一个球”，n=Nk，
因为恰有k个盒子各有一个球，这k个盒子未指定，
故
，所以P（B）＝
．
[点评] 同是“分房问题”，由于（1）中k个盒子是指定的，不用选取，直接将球排列放入盒子；（2）中的k个盒子未指定，应先选取k个盒子，再将球排列放入盒子．
[例2]已知两个实数集合A＝{a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50}，若映射f：A→B，使得B中每个元素都有原像，且f(a1)≤f(a2)
≤f(a3) ≤…… ≤f(a100),则这样的映射共有多少个？
[分析] 此题是映射和排列交叉的一个典型问题，它是一个用映射叙述的排列问题，在解决中又包含着映射的思想．首先需要我们对要求的映射进行仔细的分析，因为从A到B的映射f要满足：B中每个元素都有原象．所以需把A中元素分为非空的50组，又要求满足条件：f(a1)≤f(a2)
≤f(a3) ≤…… ≤f(a100)，我们不妨设b1<b2<b3<……
<b50．定义映射f：A→B，使第i组的元素在f之下的象都是bi．这样的映射f满足题设条件，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f的个数与集合A按足码顺序分为50组的分法是相同的，故得如下解法。
[解答] 集合A分法数为C9949个，因此这样的映射共有C9949个．
[点评] 排列组合的问题是计算符合某些要求的对象的个数，利用映射的思想来加以解决就是通过集合A与另一个集合B之间的映射关系，将对集合A中元素的计数转化为对集合B中元素的计数，若集合B中元素的计数问题得到解决，则集合A中元素的计数也随之解决．利用映射思想解决的关键是寻找一个集合B，并使它与原集合建立一种一一对应的关系．
[例3] 某商场某品牌的空调器每周的销售量ξ是一个随机变量，分布列为P（ξ＝k）＝1/20，k=11，12，…，30，而商场每周的进货量为区间［11,30］中的某一整数，商场每销售一台空调器可获利500元．若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费用100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每一台空调器仅获利200元，问此商场周初进货量（含上周余量）应为多少才能使周平均利润最大？
[分析] 利润η与周销售量ξ是随机变量，而周初进货x是普通变量．先导出η与ξ的分段函数关系，再由ξ的分布列期望公式可得Eη即利润．
[解答] 设此商场周初进货量为x台（11≤x≤30），周利润为η，则依题意：
化简即得
平均利润为Eη，由
，k=11，12，…，30．
∴
＝
＝
＝
＝
故当周初进25台或26台（含上周余量）空调时周平均利润最大．
[点评] 抓住数学期望反映了一个随机变量的平均值水平这一点，确定出平均利润即为Eη是求解本题的突破口。
[例4]一元二次方程x2+Bx+C=0中的B、C分别是将一枚骰子先后掷两次出现的点数．求该方程有实根的概率P1和有重根的概率P2．
[分析]我们可以根据判别式得到事件包含的基本事件数．
[解答]一枚骰子先后掷两次，其基本事件（B，C）总数是36，且是等可能的．
方程有实根的充分必要条件是B2－4C≥0，即C≤B2/4；
方程有重根的充要条件是B2－4C＝0，即C＝B2/4．
易见
B
123456
满足C≤B2/4的基本事件个数
0 1 2 4 6 6
满足C＝B2/4的基本事件个数
0 1 0 1 0 0
因此使方程有实根的基本事件共：1＋2＋4＋6＋6＝19个，使方程有重根的基本事件共2个．故P1＝19/36，P2＝2/36＝1/18．
[点评]由本题我们看到：如果B、C分别是一枚骰子先后掷两次的点数，则抛物线y=x2+Bx+C与x轴有交点的概率为19/36，恰有一个交点的概率为1/18．
[例5]将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中，
（1）不考虑任何限制条件，共有多少种放法？
（2）若每盒至多一球，有多少种放法？
（3）若恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（5）若把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
（6）若把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
[分析] 注意各小问中不同的限制条件。
[解答]（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256种放法；
（2）为全排列问题，共有A44＝24种放法；
（3）先将四个小球分为三组，有
种，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有A43种投放方法，故共有
＝144种；
（4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C41×2＝8种；
（5）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个．由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题．故共有C43C31＝12种放法；
（6）（隔板法）先将编号为1、2、3、4的4个盒子分别放0、1、2、3个球，再把剩下的14个球分成四组，即●●●●●●●●●●●●●●这14个球中间13个空档中放入三块隔板，共有C133＝286种．如●●●●●●●●●●●●●●即编号为1、2、3、4盒子分别再放2、5、3、4个球．
[点评]a)做排列组合应用题，首先要分清问题的类型，是用基本计数原理，还是排列问题或是组合问题．b)第（3）小题常见的错误解法：即先选出3个球放入4个盒子中的三个，有C43A43种，再把剩下的一个球放入有球的三个盒子中的一个有3种，故共有C43A43×3＝288种放法，请同学们细心体会为什么出现重复情形．c)第（6）小题“投球”问题实际上是转化为求不定方程x+y+z+w=14有多少组正整数；若先将编号为1、2、3、4的4个盒子分别放1、2、3、4个球，则转化为求不定方程x+y+z+w=10有多少组非正整数．
[例6]已知集合A＝{
≤1，
C}，B={
A，m∈R},
（1）当
时，求实数的m的取值范围；（2）是否存在实数m，使
；
[分析] 由复数的几何意义和z1对应的集合A是一个圆面，利用z1、z2之间的关系确定z2对应点集B也是一个圆面，再根据A与B的关系，可求出m的取值范围．
[解答] 由于z1+1≤1,所以z1所对应点集A是以（－1,0）为圆心，以1为半径的圆面（圆周及其内部）．又z2=z1+i+m，∴z1＝z2－i－m，∴z2－i－m+1≤1，即z2－[(m－1)+i]≤1，∴z2所对应点集B是以（m－1,1）为圆心，1为半径的圆面（圆周及其内部）．
（1）当A∩B=φ时，说明上述二圆无交点即外离，其圆心距
，∴m>
或m＜－；
（2）当A∩B=A时，因二圆半径相等即二圆只能重合，但由圆心的坐标（－1,0）及（m－1,1）可知它们不能重合，故m的值不存在．
[点评] 利用复数的模的几何意义及复数集与平面点集间的一一对应关系，可将复数问题转化为几何问题，利用几何方法来解决．当然几何问题亦可用复数语言来描述．
[例7]已知函数
，试求：
（1）f(x)的定义域并画出其图象；
（2）求
．
[分析] 求f(x)的定义域即确定x取何值时
存在．这需要根据x的不同取值范围进行讨论。
[解答]（1）当x<1时，＝0；
当x＝－1时，不存在；
当x＝1时， ＝1/2；
当x＞1时，＝
＝1，所以，
故f(x)定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)，图象如右图所示；
（2）
＝
＝0，
，
不存在．
[点评] 求解该例的关键在于讨论，写出f(x)的表达式，准确作出f(x)的图像更有利于求出f(x)在x=－1点的左、右极限，求要注意运用结论：
＝A
＝A＝
．
[例8]已知函数 f(x)=ln(2－x)+ax在开区间（0,1）内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若数列{an}满足
[分析]（1）研究所给函数的性质应该利用导数的方法；由于第（2）小题涉及到自然数，可以尝试利用数学归纳法帮助证明．
[解答]（1）∵
内是单调增函数，∴f′(x)＞0在x∈(0,1)时恒成立，
即
在x∈(0,1)时恒成立，即
在x∈(0,1)时恒成立．
∵0＜x＜1，∴－2＜x－2＜－1，∴－1＜
，∴
．故a≥1；
（2）由题设知，当n＝1时，a1∈(0,1)．
假设当n=k时，有ak∈(0,1)．
则当n=k+1时，有
，
记g(x)＝ln(2－x)+x，则
在x∈(0,1)时恒有g′(x)>0，∴g(x)在（0,1）上是单调递增函数，
又∵
，∴
，
即ln2<ak+1<1，又∵ln2>0，∴0<ak+1<1，
由数学归纳法原理知，对任意
，都有0<an<1．
∵0<an<1，∴1<2-an<2，∴ln(2-an)>0∴an+1-an=ln(2-an)>0，即ak+1>an，
综上，得0<an<an+1<1．
[点评] 研究函数的单调性除可以利用定义外，还可用到下列方法：设函数y＝f(x)在某区间可导，若f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数；若在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常函数．
四、方法归纳
1．解答组合应用题的总体思路是：第一整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复．第二局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步步连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复．第三辩证地看待“元素”与“位置”．元素和位置是解题者视具体情况而定的，有时人可看成“位置”，而座位看成“元素”，问题更容易解决．第四，要注意正确理解题设中的“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”等词语的确切含义．常用逆向思维，等价转化，注意“间接法”的应用．
2．二项式的核心是通项公式，求二项展开式中的特定项或特定项的系数通常是从通项公式入手的．
二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数分别相等）；二是赋值，事实上，二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
3．求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值，二是求此事件A的对立事件
的概率，然后利用
可得解．它给出了概率计算“正难则反”的逆向思维方法．
当A、B是相互独立的事件时，P（A·B）＝P（A）·P（B），n次独立重复试验中事件A发生k次的概率：
求解某事件发生的概率大小是概率中最常见的题型，而处理这类问题的思维角度较多，常见的求解策略有：
（1）公式法
概率中有许多计算公式，在符合公式前提的情况下对号入座，是求解概率问题的首选策略．
（2）间接法
正难（繁）则反，是数学中常用的一种思维策略，在求解概率大小时也不例外．
（3）恒等式法
不受条件限制的恒等关系是数学中的桥梁，它能将陷入困境中的问题引入坦途．
不管事件A与B的关系如何，“
”是概率中的一个恒等关系．
（4）列举法
朴素的想（做）法，有时反面能取得意想不到的效果，当你对遇到的概率问题一筹莫展时，不妨将事件发生的可能性一一列举出来．
（5）图示法
以形助数是数形结合思想的一个重要内涵，在概率中也可以借助图形来解决问题，用图形法解题有时不得不让人拍案叫绝．
4．在复习二项式定理和二项式系数这节时，主要要注意以下二条规律：
（1）二项式的核心是通项公式．求二项展开式中的特定项或特定项的系数通常是从通项公式入手的．
（2）二项式定理是一个恒等式．对待恒等式通常有两种思路：一是利用恒等定理（两个多项式恒等，则对应项系数分别相等）；二是赋值．事实上，二项式定理结合“恒等”与“赋值”两条思路可以使很多求二项展开式的系数的问题迎刃而解．
5．导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题．
（1）要理解导数概念，特别是它的几何意义和物理意义，它反映了函数在某一点的变化状态，及事物在某一时刻的变化状态．
（2）求导数有二种方法，一是利用导数定义，二是利用基本函数的导数公式、四则运算法则及复合函数的求导法则求导．常用后一种方法．
（3）函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处一定连续，反之未必．
（4）要重视导数在研究函数问题或实际问题的应用．
①求可导函数单调区间的方法：
（ⅰ）确定函数f(x)的定义域；
（ⅱ）求方程f′(x)＝0的解，这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间；
（ⅲ）确定各小区间f′(x)的符号，f′(x)＞0时，该区间为增区间，反之为减区间．
②求函数极值点时，可能出现极值的点是使f′(x)＝0或使f′(x)不存在的点，注意f′(x)＝0不是有极值的充分条件．
③连续函数在闭区间必有最值，求最值时不要忘记极值与端点处的函数值的大小．
④解最值用题时，要认真审题，分析各个量的关系列出函数关系式y=f(x)，然后按规定步骤求函数f(x)的最值．最后根据实际意义作答，若f(x)在区间(a,b)只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．
6．（1）会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件．这是本节的难点．
（2）应熟悉分布列的两个基本性质：若随机变量ξ的取值为x1，x2，…xi，…，取这些值的概率为P（ξ＝xi）＝Pi，i＝1,2，…则①pi≥0，i＝1,2，…，②pi＋p2＋…＝1．
（3）了解二项分布的实际背景，会熟练用二项分布计算有关随机事件的概率．
7．（1）离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取舍的稳定与波动、集中与离散的程度．
（2）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：
，E(aξ+b)=aEξ+b,D(aξ+b)=a2Dξ．
（3）二项分布的期望与方差，若ξ—B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=np(1-p)．
8．（1）连续函数f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值，但是在(a,b)内不一定有最大值和最小值，如函数y＝x2在（1,2）内就没有最大值和最小值．
（2）在求极值点时，如果函数定义域内有导数不存在的点，应注意考察其是否为极值点，不可忽略，如函数
在点x＝0和x＝2处导数不存在，但都是函数的极小值点．
（3）如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内具有单调性，则函数f(x)在闭区间[a,b]上也具有同样的单调性．
9．（1）“复数相等”的概念，看似“平凡”，但“神通广大”．因为若a,b,c,d∈R，则
它可以使复数问题与实数问题互相转换，进而产生许多数学解题方法的奇思妙想，看似“特技”，实质源于数学的根本──基本概念．
（2）x∈R
为纯虚数
且
；
在解题中注意应用．
（3）处理复数问题，应注意从整体角度去分析求解，若遇到复数就设z=x+yi(x,y∈R)，给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体的思想方法，则能事半功倍．同时要注意复数的几何意义的应用．