2007年广东省高考数学六中模拟试卷（一）
本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题) 组成，共4页；答题卷共4页．满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．
3．参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
；
正棱锥、圆锥的侧面积公式
其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长；
球的体积公式 
其中R表示球的半径
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、
双曲线
的渐近线方程是 （ ）
A. 
B. 
C.
D. 
2、
直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、
已知a、b、c满足
，且
，那么下列选项中一定成立的是 （ ）
A. 
B.
C. 
D.
4、
设直线 ax+by+c=0的倾斜角为
，且sin+cos=0，则a，b满足 （ ）
A．
B．
C．
D．
5、
已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(
，0)，则φ可以是 （ ）
A.－
B. C.－ D.
6、
在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）
A. 
B. 
C.
D.
7、
设
是函数
的反函数，若
，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
8、
设
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当
时，
且
则不等式
的解集是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9、
数列
（ ）
A．
B．
C．
D．
10、
如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α= （ ）
A. B. C.
D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共80分)
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
11、
若函数f(x)=a
在[0，+∞)上为增函数，则实数a、b的取值范围是
.
12、
的值为____________.
13、 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2003年产生的垃圾量为a吨.由此预测，该区下一年的垃圾量为____________吨，2008年的垃圾量为_________吨.
14、
若直线
与圆
没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆
的公共点有_________个.
答题卡
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 分数 | |||||||||
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
二、填空题（答题区）
（11） （12）
（13） ，
（14） ，
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15、
(本小题满分12分)如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角
取何值时
的值最大？并求出这个最大值.（P106）
16、
（本小题满分12分）满分一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
17、
（本小题满分14分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，
点E在PD上，且PE∶ED=2∶1.
（1）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小
（2）在棱PC上是否存在一点F， 使BF∥平面AEC？证明你的结论.
18、
（本小题满分12分）如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
19、 （本小题满分14分）函数
的定义域为R，
且
（1）求证：a>0，b<0；
（2）若
上的最小值为
，试求f(x)的解析式；
（3）在（2）的条件下记
试比较
的大小并证明你的结论.
20、 （本小题满分15分）（2004年湖南高考·理工类第21题，本小题满分12分；文史类第22题，本小题满分14分）如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（I）设点P分有向线段
所成的比为
，证明:
；
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
|
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | A | A | D | A | C | B | D | C | D |
二、填空题（答题区）
（11）a>0,b≤0；（12）1；（13）
；(14）
；2个。
15、（湖北文19）
本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
16、解：（1）安全负荷
为正常数）翻转
，
安全负荷变大.
，安全负荷变小. …4分
（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则
.
∵枕木长度不变，∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
，当且仅当
，即取
，
取
时，u最大， 即安全负荷最大.
三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解， 如果学过导数知识， 其解法就更为方便， 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.
17、（湖南理工19）
(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明 因为底面ABCD是菱形, ∠ABC=60º,
所以AB=AD=AC=a.
在△PAB中,由
知PA⊥AB.
同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解:作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD
知EG⊥平面ABCD.
作GH⊥AC于H,连结EH,则EH⊥AC.
∠EHG为二面角θ的平面角.
又PE:ED=2:1
所以
从而
(Ⅲ)解法一 以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图。由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B(
D(0,a,0),P(0,0,a),
E(0, 
所以
设点F是棱PC上的点, 
其中0<λ<1,则
=
令
得
即
解得
即
时, 
共面.
又BF
平面AEC,所以当F是棱PC的时,BF∥平面AEC.
解法二
当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下.
证法一 取PE的中点M,连结FM,则FM∥CE. ①
由
知E是MD的中点.
连接BM、BD,设BD
AC=O，则O为BD的中点。
所以BM∥OE。 ②
由①、②知,平面BFM∥平面AEC.
证法二
因为
=
=
所以
、
、
共面。
又BF平面AEC,从而BF∥平面AEC。
18、解：（I）
（II）
∴线路通过信息量的数学期望
（11分）
答：（I）线路信息畅通的概率是
. （II）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）
19、解（1）∵f(x)定义域为R，
（2）由（1）知f(x)在[0，1]上为增函数，
20、（04湖南21）
.解(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为
,代入抛物线方程
得
①
设A、B两点的坐标分别是（x1,y1）、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根。
所以
由点P（0，m）分有向线段
所成的比为，
得
， 即
又点Q是点P关于原点的以称点，
故点Q的坐标是（0，--m）,从而
=
=
=
=
=0，
所以
(Ⅱ) 由
得点A、B的坐标分别是（6，9）、（--4，4）。
由得
， 
所以抛物线在点A处切线的斜率为
。
设圆C的方程是
，
则
解之得 
所以圆C的方程是
，