2007级高三 数学模拟试题
（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把所选项前的字母填在题后的括号内。
1、设集合P＝{xx＝，k∈Z}，Q＝{xx＝，k∈Z}，则（ ）
A.p＝Q B.P≠(Q C.P≠(Q D.P∩Q＝Φ
2、已知集合
，
，
：
，
：
，则是成立的（ ）
充分非必要条件 
必要非充分条件 
充分必要条件 
非充分非必要条件
3、如果向量满足＝1，＝，且⊥(－)，那么的夹角大小为（ ）
A.30º B.45º C.75º D.135º
4、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点A(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C.≤k≤4 D.－≤k≤4
5、已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当Sn最大时，n的值为（ ）
A.16 B.9 C.8 D.10
6、函数
的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
7、已知圆
，点
（－2，0）及点
（2，
），从点观察点，要使视线不被圆
挡住，则的取值范围是（ ）
（A）（－∞，－1）∪（－1，+∞） （B）（－∞，－2）∪（2，+∞）
（C）（－∞，
）∪（
，+∞） （D）（－∞，－4）∪（4，+∞）
8、已知向量
（
，
），
（
，
），
与
的夹角为
，则直线
与圆
的位置关系是（ ）
（A）相切
（B）相交
（C）相离
（D）随
的值而定
9、某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，
分钟注水
升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供
（ ）
（A）3人洗澡 （B）4人洗澡 （C）5人洗澡 （D）6人洗澡
10、设函数
（
R，且
，N*），
的最小值为
，最大值为
，记
，则数列
（ ）
（A）是公差不为0的等差数列 （B）是公比不为1的等比数列
（C）是常数列 （D）不是等差数列，也不是等比数列
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分
11、不等式
的解集为
；
12、已知
，
，且（
）⊥（
），与的夹角为
，则
；
13、已知实数x、y满足
则
的最大值是
；
14、在等比数列
中, 
, 则
的值为 ；
15、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（
），其加密、解密原理如下图：
明文
密文
密文
明文
现在加密密钥为
，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”，问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为
；
16、对任意实数
、
，定义运算
，其中
、
、
为常实数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知1*2=3，2*3 = 4，且有一个非零实数
，使得对任意实数，都有*=，则=________．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（12分）已知
,
,记
.
(1) 求
的周期及最小值;
(2) 若按m平移得到
, 求向量m .
18、（13分）解关于
19、（13分）已知函数
(1) 求证: 函数是偶函数;
(2) 判断函数分别在区间
、
上的单调性, 并加以证明;
(3) 若
, 求证: 
.
20、（12分）在工厂生产中，若机器更新过早，则生产潜力未能充分发挥而造成浪费；若更新过迟，老机器生产效率低，维修与损耗费用大，也会造成浪费.因此，需要确定机器使用的最佳年限（即机器使用多少年平均费用最小）
某工厂用7万元购买了一台新机器，运输安装费2千元，每年投保、动力消耗固定的费用为2千元；每年的保养、维修、更换易损件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，……，即每年增加1千元，问这台机器的最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用的最小值.（12分）
21、（12分）设圆
的方程为
，直线
的方程为
．
（1）求关于对称的圆
的方程；
（2）当变化且
时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．
22、（14分）已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，
且(n＋1)a
＋anan＋1－na
＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1
(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
2007级高三 数学模拟试题
答案：6D7C8C9B10C 11[1，2] 12、
13、11 14、192 15、14 16 、4
17．（本小题满分12分）
解: (1)
…………(2分)
＝
…………(6分)
∴的周期为π,最小值为－2. …………(8分)
(2)若按向量m平移得到
则向量m
…………(12分)
18、（13分）解关于。
解： 
，
；
，
；
，
。
所以，
，不等式的解集是
；
，不等式的解集是
；
，不等式的解集是
。
19解: (1) 当
时, 
, 则
∴
………(2分)
当
时, 
, 则
,
∴
综上所述, 对于
, 都有, ∴函数是偶函数.………(4分)
(2) 当时, 
设
, 则
………(6分)
当
时, 
; 当
时, 
,
∴函数在
上是减函数, 函数在上是增函数.………(8分)
(3)由(2)知, 当
时, 
,………(9分)
又由(1)知, 函数是偶函数, ∴当
时, ,………(10分)
∴若
, 
, 则
, 
,………(11分)
∴
, 即
.………(12分)
20解：设使用
年为最佳年限，则每年的平均费用
（万元）。
当且仅当
，即
，即
时取等号。
21、解：（1）圆C1的圆心为C1（-2，3m+2）
设C1关于直线l对称点为C2（a，b）
则
解得：
∴圆C2的方程为
（2）由消去m得a-2b+1=0
即圆C2的圆心在定直线x-2y+1=0上。
设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则
即
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：
解之得：
所以所表示的一系列圆的公切线方程为：
22解：（Ⅰ）∵
∴
。
∴
∴
，∴
。 即
。
∴
。
∴
，∴又
，∴
。
∴
。
（Ⅱ）∵
，
∴
。
（Ⅲ）
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
；
当
时，
，∴
。
猜想：当
时，
。 即
。亦即
。
下面用数学归纳法证明：
当时，前面已验证成立；
假设
时，
成立，那么当
时，
。
∴当时，
也成立。
由以上、可知，当时，有；当时，；
当
时，
。