不等式专题

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江苏省奔牛高级中学

一．高考大纲剖析

江苏省2005年高考数学考试大纲，对于《不等式》一章的考试内容及考试要求为：(1）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。这同江苏省2004年高考数学考试大纲对这两部分内容的要求完全一样。据此我们判断：稳定是江苏省高考自主命题的指导思想之一。

传统的数学高考，重点考查的内容有五大块：函数与方程、不等式、数列、直线和平面、圆锥曲线。而新高考，重点考查的内容则有八大块：函数与方程、不等式、数列、导数、概率、平面向量、圆锥曲线、直线与平面。

1．　　　　　　  本单元知识点虽然较少，但综合性较强，难度也比较大，在历年高考试题中占有较大的比重，约占总分20分左右，远远高于课时中的比例。从题型看，有关不等式的试题多年各是一道选择题或填空题，一道解答题。多以解不等式或不等式为多，从近几年试题上看，单方面考查不等式知识的试题减少了，多数渗透于考查其它的知识中。

2．　　　　　　 2004年高考关于不等式的试题配置：

试题省份	题目及分数	试题省份	题目及分数
全国卷Ⅰ	T13（4分）	福建卷	T3（5分）
全国卷Ⅱ	T1（5分）T22（14分）	湖北卷	T5（5分）T10（5分）
全国卷Ⅲ	T5（5分）	湖南卷	T7（5分）
北京卷	T6（6分）	江苏卷	T22（14分）
天津卷	T2（5分）T21（12分）	辽宁卷	T22（14分）
上海卷	T5（4分）	浙江卷	T13（4分）
重庆卷	T4（5分）T20（12分）	广东卷	T2（5分）T19（12分）

3．　　　　　　 2005年高考关于不等式的试题配置：

试题省份	题目及分数	试题省份	题目及分数
全国卷Ⅰ	T1~13（5分，4分）	福建卷	T1~10（2*5分）
全国卷Ⅱ	T1（5分）T22（14分）	湖北卷	T1~10（5分）T22（14分）
全国卷Ⅲ	T5（5分）	湖南卷	T7（5分）
北京卷	T6（6分）	江苏卷	T22（14分）
天津卷	T1~12（2*5分）	辽宁卷	T2~12（2*5分）
上海卷	T5（4分）	浙江卷	T13（4分）
重庆卷	T1~12（5分）	广东卷	T2（5分）T19（12分）

4．预测2006年高考命题趋势为：

江苏省2004年高考数学试卷中不等式所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题（不等式为第22题）。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都在不同程度上体现了不等式的重点地位。由此可以看出，不等式是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：不等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式内容仍将是今年高考考查的重点。

二．高考试题研究

例1．05年高考数学（江苏卷）

（13）命题“若a＞b，则2^a＞2^b－1”的否命题为　　　　　　　　　 　　　　 .

[解析]：由题意原命题的否命题为“若”。

[评述]：本题以不等式形式考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题。

例2．05年高考数学（江苏卷）

（15）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　  .

[解析]：由题意得：，　 则由对数函数性质得：

　　　　　　　　 即；　求得函数的定义域为：。

[评述]：本题综合考查了函数的定义域，对数函数的意义，一元二次不等解法等相关知识的综合运用。

例3．05年高考数学（江苏卷）

（18）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，

则的最小值是　　　　　　　 .

[解法一]:如图,

　　　　　　  =

　　　　　 即的最小值为:-2.

[解法二]: 选取如图等腰直角三角形ABC,由斜边上的中线AM=2,

　　　　则A(0,0) ,B(2,0),　C(0,2, M(,

　　　　设O(x,y), (且x=y,　x),

　　　　则=(

　　　　 =　　　 =.

　　　　设f(x)=4x²-4,,结合二次函数图象知:当x=时,

　　　　f(x)_min=4

[评述]:本题考查了向量与解析几何知识交汇问题,可利用向量的性质,结合均值不等式知识综合求解;或者选取特殊三角形,把向量式转化为二次函数关系式,利用二次函数求出其最小值.

例4．05年高考数学（江苏卷）（23）（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，a₂＝6，a₃＝11，且其中A,B为常数.

（Ⅰ）求A与B的值；

（Ⅱ）证明数列{a_n}为等差数列；

（Ⅲ）证明不等式对任何正整数m、n都成立.

 [解答]：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a_n=1+5(n-1)=5n-4.

 要证了　　　　　

 只要证　　　　　 5a_mn>1+a_ma_n+2

 因为　　 　　　　  a_mn=5_mn-4,a_ma_n=(5m-4)(5n-4)=25_mn-20(m+n)+16,

 故只要证　　　 　5（5_mn-4）>1+25_mn-20(m+n)+16+2

因为　　　　　 

　　　　　　　　　　　　　　　 =20m+20n-37,

所以命题得证。

[评析]:本题主要考查了等差数列的有关知识,不等式的证明方法,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。

例5．(2004年江苏高考13题)二次函数y=ax²+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
y	6	0	-4	-6	-6	-4	0	6

则不等式ax²+bx+c>0的解集是_______________________.

[评析]:本题主要考查了二次函数的有关知识,不等式的图象解法,考查了分析推理、理性思维。

例6．(2004年江苏高考22题)

已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对于任意的实数x₁、x₂，都有λ(x₁－x₂)²≤(x₁－x₂)[f(x₁)－f(x₂)]和｜f(x₁)－f(x₂)｜≤｜x₁－x₂｜，其中λ是大于0的常数。

设实数a₀、a、b满足f(a₀)＝0和b＝a－λf(a)。

(Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b₀≠a₀，使得f(b₀)＝0；

(Ⅱ)证明：(b－a₀)²≤(1－λ²)(a－a₀)²；

(Ⅲ)证明：[f(b)]²≤(1－λ²)[f(a)]²。

[评析]:本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低，区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后95％学生可放弃解答本题。

例7．(2004年北京高考20题)给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其它选择相比是最小的，r₁称为第一组的余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这里的余差为r₂；如此继续构成第三组(余差为r₃)、第四组(余差为r₄)、…，直至第N组(余差为r_N)把这些数全部分完为止。

⑴判断r₁，r₂，…，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；

⑵当构成第n(n＜N)组后，指出余下每个数与的r_n的大小关系，并证明r_n-1＞；

⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11（本题是理科试题最后一题）。

[评析]:阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第1小题多数学生可以做出来，不难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。

三．高考命题展望

回顾2005年江苏省高考数学试卷，并纵观别的省份的高考数学试卷，都有一个共同的特点，就是一改近几年高考数学试卷难度偏大，体现了对学生分层要求（全体学生的要求，多数学生的要求，少数学生的要求），让每个学生都有成功感。

江苏省2005年高考数学试卷与2004年高考数学试卷相比，难易程度没有明显差距，相对来说是比较平妥的。但有一点未变，这就是突出考查主干知识和基本能力。这是因为主干知识和基本能力是支撑知识体系的主要内容，高考时必须保持较高的比例予以考查，并达到必要的深度，以保证高考目标的实现。因此不等式的考查，主要指不等式的性质应用，解不等式的基本方法---公式法、图象法等，均值不等式---在求最值中的重要性等，常见的不等式的证明方法在其它知识的考查中的应用，这都是我们复习不等式时要重点注意的内容。只有掌握基础知识与基本方法，才能形成解题的基本技能技巧.　

2005年的高考考试大纲对于不等式的要求同2004年要求完全一样。

根据上述三点，我们对2006年高考数学命题展望如下：

1．贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平

贴近生活，贴近实际，更贴近考生的水平，最后的诠释是高考试题。如2004年北京高考数学试题第19题。

例8．某段铁路线上依次有A、B、C三站，AB＝5km，BC＝3km，在列车运行时刻表上，规定列车8点整从A站出发，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站。在实际运行时，假设列车从A站正点出发，在B站并停留1分钟，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上的相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

⑴分别写出列车在B、C两站的运行误差；

⑵要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围。

本题以解不等式等基本知识，考查学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力。本题具有一定的生活背景和文化背景，而且其数学模型是一个简明的绝对值不等式模型，解决问题的关键是确立时间误差分别为｜－7｜和｜－11｜，进而得出不等式：｜－7｜和｜－11｜≤2。本题作为应用题，它的阅读量较小，测试的阶梯明显，第一问检测学生的数学建模能力，第二问检测学生的数学解模能力。估计学生解答此题的第一个障碍是题意的理解，第二个障碍是用数学的术语、符号表达问题，极有可能在列表达式时出现单位错误, 第三个障碍是不会解不等式,或解解不等式时分类不全,乱分类。

2．考查学生的数学探究能力

《普通高中数学课程标准》指出：数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学教学使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

例9(2005北京春季高考第20题)

现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀＝0。为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T＝a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅，x_n＝，y_n＝(a₀＋a₁＋…＋a_n)，作函数y＝f(x)，使其图象为逐点依次连接点P_n(x_n，y_n)(n＝0，1，2，…，5)的折线。

（ 1）求f(0)和f(1)的值；

（2）设P_n-1P_n的斜率为k_n(n＝1，2，3，4，5)，判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；

（3）证明：当x∈(0，1)时，f(x)＜x；

（4）求由函数y＝x与y＝f(x)的图象所围成图形的面积S（用a₁，a₂，a₃，a₄，a₅表示）。

本题以数字为研究对象，波及的知识点多，这点对于学生来说，具有一定的挑战性。但更具有值挑战性的是，学生要有勇气、毅力和探究能力。

3．适度综合

由学习和教学的特点，只能将结构完整的蕴含着深刻思想的有着内在联系的知识网络，人为地加以分割成条、块，而后，按一定的顺序，渐次展开进行教学。但在应用中，往往需要将知识综合 ，需要数学思想指导，需要数学方法支撑，才能够解决问题，支离破碎的知识是不行的（有用捕捉，有关提取，有效整合）。

不等式与函数、数列、二项式定理、解析几何等知识的综合，数列与函数、方程、不等式、解析几何等的综合，既有天然的因素，也有人工的成份。试题渗透归纳猜想、类比联想、等价转化、分类讨论等重要的数学思想，试题难度一般均属中等以上。例如2004年上海高考数学试卷的第22题。

例10．（湖北卷）22．（本小题满分14分）

　　　 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

　 （Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

本题在不等式与数列的交汇点设计试题，题型新颖，解法多样。

四．高考复习建议

关于不等式这部分内容的复习，提几点建议，一家之言，仅供大家参考：

1．注重双基，降低难度，突出主干知识。

如不等式与相关函数的单调性之间的关系。

⑴不等式与二次函数：已知f(x)＝x²＋(b－1)x＋c，若f(x₁)＝f(x₂)＝0，x₁－x₂＞1。①证明：b²＞2(b＋2c)；②若实数e＜x₁，试比较e²＋be＋c与x₁的大小。

⑵不等式与三次函数：已知函数f(x)＝x³－13x²＋40x在区间[a，＋∞]上有反函数，

则a的最小值是A．8　　B．　　C．　　D．

⑶不等式与抽象函数：若函数f(x)满足对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且x＞0时恒有f(x)＞1。①证明：f(x)在R上是增函数；②若f(3)＝4，解不等式f(a²＋a－5)＜2

关于放缩法，放缩法虽不是高中教学的重点，但它却是高考的热点，这是因为放缩法证明不等式是高等数学中比较常用的方法，它的思想是逼近，掌握几种简单地放缩技巧是必要的。其实不等式的好多性质就体现了放缩。

2．重视挖掘不等式与新增加内容的诸如平面向量、导数、概率的联系，体现课改理念。

比如，例10（湖北卷22）就是挖掘了数列与不等式之间的联系而设计的一道高考数学试题。我们还要没要注意从不等式与平面向量、不等式与导数、不等式与数列等方面去设计新题型。

3．发展“智商”，提高“情商”。知识、逻辑、策略和经验，是数学解题的几件“必须品”，任一方面的失误都会导致失分。目前的教学要特别注意让学生总结经验，反思策略，经得起考试。切实做到简单题目不粗心，复杂运算敢“碰硬”；能够估算的地方就不精确计算，能够取特例或极端化处理的地方就不作一般性推演，能够借助直觉判断的地方就不拘泥于逻辑推理。

4．学会取舍。高三数学复习的最终目的是要使学生在即将到来的高考中能过关斩将，考出优异的成绩。但是我们也应该看到，并不是每一个学生都能考出140多分这样的优异成绩，甚至120分这样的较好成绩也考不了，因此在复习中，要有所取舍。具体地说，一是教师要对《考纲》理解透彻，研究深入，把握到位，明确复习重点，教师把握好“教什么”与 “不教什么”；二是教师讲解要体现层次性，让大部分学生学有新意，学有收获；三是练习检测及其讲评，针对性要强，使学生的知识和方法，模糊地清晰起来，缺位地填补起来，杂乱地条理起来，孤立地联系起来。作为学生则表现在：复习既要全面又要有重点；考试既要多做，又要量力。这就要求学生，要调整好心态，从容面对高考，减少 “会而不对”或“对而不全”等现象发生，做到表达准确，书写规范，力争多得分，少失分。