2005年扬州市重点中学四月数学模拟试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I卷
（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：
球的体积公式：
（其中R表示球的半径）
球的表面积公式：
（其中R表示球的半径）
一. 本卷共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集I＝｛1，2，3，4，5，6，7｝，M＝｛3，4，5｝，N＝｛1，3，6｝，则集合｛2，7｝等于（ ）
A. 
B.
C. 
D.
2. 函数
的反函数为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
3. 已知：函数
，则Z在区域
的约束条件下最小值为（ ）
A. 
B.
C.
5 D.
8
4. 在边长为1的正三角形ABC中，
，则
（ ）
A. 1.5 B.
C.
0.5 D.
5. 已知直线
⊥面α，直线
面β，给出下列命题：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中正确的命题个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 若不等式
成立的充分条件为
，则实数a的取值范围为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
7. 等差数列
中，
，若
，则m的值等于（ ）
A. 38 B. 20 C. 19 D. 10
8. 在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）
A. 
B.
C.
D.
9. 正三棱锥
的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（ ）
A. 
B.
C.
D.
10. 已知函数
的图象过点（3，2），则函数
的图象关于x轴的对称图形一定过点（ ）
A. （2，-2） B. （2，2）
C. （-4，2） D. （4，-2）
11. 已知点P是以
为左、右焦点的双曲线
右支上一点且满足
，此双曲线的离心率为（ ）
A. 
B.
2 C.
D.
3
12. 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次，（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后（ ）分钟，该病毒占据64MB（
。
A. 45 B. 48 C. 51 D. 42
第II卷
（非选择题 共90分）
二. 填空题（共4小题，每题4分，共16分）
13. 某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则
____________。
14. 在二项式
的展开式中，偶数项二项式系数和为32，则展开式的中间项为____________。
15. 若直线
按向量
平移后与圆
相切，则实数
____________。
16. 已知函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，令
，则关于
有下列命题：
（1）的图像关于原点对称；
（2）为偶函数；
（3）的最小值为0；
（4）在（0，1）上为减函数。
其中正确命题的序号为：____________________。
三. 解答题（本大题共6个小题，满分74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （12分）
已知α为第二象限角，且
，求
的值。
18. （12分）
数列前n项和为
且
（1）求的通项公式；
（2）若数列
满足
，且
，求通项公式。
19. （12分）
如图，在直三棱柱
中，
，∠ACB＝90°，D是
的中点。
（1）在棱
上求一点P，使CP⊥BD；
（2）在（1）的条件下，求DP与面
所成的角的大小。
20. （12分）
某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使
，记
（1）求
时的概率；
（2）若前两次均为正面，求
时的概率。
21. （12分）
已知：函数
的图象过点A（0，1），且在该点处的切线与直线
平行。
（1）求b与c的值；
（2）设在［1，3］上的最大值与最小值分别为
。求
的表达式。
22. （14分）
设
，在直角坐标平面内，
，且
（1）求点
的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求直线的方程。
2005年扬州市重点中学四月数学模拟试题答案
第I卷（选择题，共60分）
一. 选择题。
1. B 2. A 3. A 4. C 5. B 6. A
7. D 8. B 9. C 10. D 11. C 12. A
第II卷（非选择题，共90分）
二. 填空题。
13. 200
14. 
15. 
或
16. （2）（3）
三. 解答题。
17. 解：
………………6分
∵α在第二象限，且
………………10分
∴原式
………………12分
18. 解：（1）
两式相减，
为公式为的等比数列………………3分
又
时，
………………6分
（2）
………………8分
相加，
即：
………………12分
19. 解法一：（1）如图建立空间直角坐标系
设
，则
由
得：
由CP⊥BD，得：
所以点P为的中点时，有CP⊥BD………………6分
（2）过D作DE⊥B1C1，垂足为E，易知E为D在平面
上的射影
∴∠DPE为DP与平面所成的角………………8分
由（1），P（4，0，z），
得：
即DP与面
所成的角的大小为
………………12分
解法二：取
的中点E，连接BE、DE
显然DE⊥平面
∴BE为BD在面内的射影，若P是
上一点且CP⊥BD，则必有CP⊥BE
∵四边形
为正方形，E是的中点
∴点P是的中点
∴的中点即为所求的点P………………6分
（2）连接DE，则DE⊥
，垂足为E，连接PE、DP
为DP与平面所成的角………………8分
由（1）和题意知：
即DP与面所成的角的大小为
………………12分
20. 解：（1），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
则
………………6分
（2）当同时出现正面时，要使，需后6次3次正面3次反面，设其概率为
………………12分
21. 解：（1）由A（0，1）满足解析式
，又
时
………………4分
（2）
∴当
时，
………………6分
当
时，
………………8分
当
时，
………………10分
……………………12分
22. 解：（1）由题意得：
………………2分
即点到两定点
的距离之和为定值且
所以点的轨迹是以
为焦点的椭圆
所以
所求椭圆方程为：
………………6分
（2）过点（0，3）作直线，当与x轴垂直时，AB过坐标原点，这与以AB为直径的圆过坐标原点矛盾
∴的斜率存在……………………7分
设
由
消y得：
恒成立
且
………………10分
由条件OA⊥OB，即
即
解得：
……………………14分