上海市徐汇区2006届高三第一学期期末抽查数学试卷
一、填空题：
1．
函数
的定义域为 
。
2．
已知集合
，则集合
。
3．
函数
的最小正周期是 
。
4．
设复数
，则
。
5．
函数
的最大值为 
。
6．
方程
的解是 
。
7．
已知数列
的前
项和
，则
的最小值为 
（结果用数值表示）。
8．
将４名教师分配到３所中学任教，每所中学至少１名教师，则不同的分配方案共有
种。
9．
已知直线
过点
，当直线与圆
有两个公共点时，其斜率
的取值范围是
。
10、计算：
。（其中
为虚数单位）
11、设双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列（公差不为零），则双曲线一个可能的方程为
。
12、关于
的方程
恰有四个不相等的实数根，则实数
的取值范围是 
。
13、若函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是 
。
14、对任意实数
，定义运算
，其中
为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现已知
，且有一个非零实数
，使得对任意实数，都有
，则
。
二、选择题：
15、函数
的反函数是 （ B ）
Ａ、
Ｂ、
Ｃ、
D、
16、点P从
出发，沿单位圆
逆时针方向运动
弧长到达Q点，则Q的坐标为 （ A ）
A、
B、
C、
D、
17、
中，若
，则为
（ C ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
18、已知
，则数列的通项公式
等于
（ D ）
A、
B、
C、
D、
三、解答题
19、解不等式组：
解：
。
20、已知数列的首项是
，前项和为，且
，求数列的通项公式。
解：
，两式相减，得
，
∴
。
21、已知函数
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数在
上的值域。
解：（1）
∴函数的最小正周期
。
（2）∵
，∴
，∴
，∴
。
22、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为
，贷款的利率为6%，又银行吸收的存款能全部放贷出去。
（1）若存款的利率为
，试分别写出存款数量
及银行应支付给储户的利息
与存款利率之间的关系式；
（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？
解：（1）存款量
，银行应支付的利息
。
（2）设银行可获得收益为
，则
，
当且仅当
，即
时取到最大值。
答：当存款利率定为
时，银行可获得最大收益。
23.已知
抛物线M的方程为
（1）求抛物线M的准线的方程；
（2）求证：对任意
，经过两点
的直线与一定圆C想切，并求出圆C的方程；
（3）设AB为定圆C的任意一条被直线平分的弦，求证：所有这些弦所在的直线都与某一条抛物线有且仅有一个公共点。
（1）解：抛物线M的准线的方程为
，即
。
（2）证明：∵，
∴经过两点的直线方程为
,
∵原点到这条直线的距离
， ∴定圆C的方程为
。
（3）证明：设AB与直线的交点为
，则
，AB的方程为
，
由题意设抛物线方程为
，把
代入AB的方程，得
，由
，得
，
即所有这些弦所在的直线都与抛物线
有且仅有一个公共点。
24.已知函数
且
（1）求的单调区间；
（2）若函数
与函数在
时有相同的值域，求的值；
（3）设
，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求的取值范围。
解：（1）
，
易得的单调递增区间为
；单调递减区间为
。
（2）∵在上单调递减，∴其值域为
，即，
。
∵
为最大值，∴最小值只能为
或
，
若
；若
。综上得
。
（3）设的值域为
,由题意知，
。以下先证的单调性：设
，
∵
，
（
，
）， ∴在
上单调递减。
∴
， ∴的取值范围是
。