韶关市2006届高三第一次调研考试
数学试题
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.（答案1-10BDAAD CDDDC）
（1）在正项等比数列
中, 
的值为
A．4 B．8 C．16 D．64
（2）不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
（3）
的值
A．小于零 B．大于零 C．等于零 D．不确定
（4）设定义在R上不恒为0的函数
满足 
，则是
A．奇函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
（5）若指数函数
的部分对应值如下表：
| x | －2 | 0 | 2 |
|
| 0.694 | 1 | 1.44 |
则不等式
(x)<0的解集为( )
A．
B．
C． 
D．
（6）设集合M =
，
，若M∩N =
，则实数m的取值范围是：（ ）
A．
B．
C．
D．
（7）数列的前
项和
A．1 B．－1 C． 2 D． －2
（8）已知一次函数存在反函数，且满足
.则
A．0 B．1 C．2 D．3
（9）已知数列｛
｝中，
＝1，前ｎ项和为
，对任意ｎ≥2，总有
，，
成等差数列,则
( D )
A．
B． 
C． 1
D．
（10）设定义域为D的函数满足以下条件：① 对任意
；② 对任意
,当
时,有
.则以下不等式不一定成立的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
（11）函数
的最小正周期是______________.
（12）设函数
，命题P：
；命题Q：方程
有解.则命题Q是命题P的______________ 条件.（必要但不充分）
（13）设正方形ABCD的边长为2,点P从点A出发，按A→B→C→D的路径在正方形ABCD的边上移动，以x表示点P走过的路程，表示三角形APD的面积，当点P在CD边上时，
____________；其中的定义域是_______________.
（14）已知等差数列｛｝中，
前ｎ项和为,且
当最大时，
____________；（2005）当
时，
的最大值是____________.（4010）
三、解答题
（15）求函数
的最大值和最小值.
解：
………4分
………7分
……………………………………10分
当
时，
当
时，
. ……………………………………12分
（16）已知不等式
的解集是
，求不等式
的解集.
解：不等式的解是 
，依题设得
解这个方程组得 
可知不等式为 
即 
解得 
，故不等式的解集是
.
（17）已知公比为
的等比数列
与数列满足
（1）
判断是何种数列，并给出证明；
（2）
若
解（1）
所以是以
为公差的等差数列. ……………………………………6分
（2）
所以由等差数列性质得
故 
……………………………………14分
（18）某厂生产某种产品的固定成本为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增大可变成本
(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？
解：设该厂生产
件厂品的利润为
元，则：
……………………………………7分
……………………………………9分
所以当
时，
取得最大值，
…………11分
答：要使利润最大，该厂应生产50件这种产品，最大利润为5000元……12分
（19）过定点M（1，0）作曲线
的切线切点为Q1，设Q1点在x轴上的投影是点R1，又过点P1作曲线c的切线切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是R2…，依此下去，得到一系列点Q1，Q2，…，Qn，…，设点Qn的横坐标为
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）设
,试比较
与
的大小(写出推导过程)
(3) 求证: 
；
证明（1）
，若切点是Qn(an,anp)，则切线方程是
当n=1时，切线过点P（1，0）
即
，得
；………………………2分
当n>1时，切线过点
即
得
………………………………………………………4分
所以数列
是首项为
,公比为的等比数列，
,
…………………………………………………………………………5分
(2)∵
则
两式相减，………………7分
得
，…………8分
………………………………（10分）
(3)
……………12分
………………………………（14分）
法二.用数学归纳法证明酌情处理
（20）已知函数
存在极值.
（Ⅰ）如果函数在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）设函数的极小值为
，证明：
.
解：（Ⅰ）
当
时，
，函数在定义域区间
和
上分别为增函数，不存在极值（或：当时，
，函数不存在极值），与题设不符；故 
.
法1：当
时，
法2：令
解得
或
故当时，函数的增区间为
要函数在区间上单调递增，有
，解这个不等式得
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，. 当
时，
，函数的减区间为
，
故函数只在区间上有一个极小值.
当
时，
（或
）
法1：
又 
，
法2：
另一方面，
法3：令
，则
法4：分析法（略）