四川省重点中学高2006级数学能力题训练四
（由四川教科院组织名校教师联合编写）
1.
直线
与椭圆
相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.
已知曲线
与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是
，则实数a的值是
（ ）
A．1 B．
C．2 D．3
3.
方程
所表示的曲线是
（ ）
A． 双曲线 B． 抛物线 C． 椭圆 D．不能确定
4.
从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程
中的系数，则确定不同椭圆的个数为
（ ）
A．20 B．18 C．9 D． 16
5.
如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是
=（1，0，1），
=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6.
四面体的棱长中，有两条为
，其余全为1时，它的体积 （ ）
A．
B．
C．
D．以上全不正确
7. 已知铜的单晶体的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶体有24个顶点，每个顶点处有3条棱，那么单晶铜的三角形晶面和八边形晶面的数目分别是 （ ）
A．6，8 B．8，6 C．8，10 D．10，8
8.
如图一，在△ABC中，AB⊥AC、AD⊥BC，D是垂足，则
（射影定理）。类似有命题：三棱锥A－BCD (图二)中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，则
，
上述命题是 （ ）
A．真命题
B．假命题
C．增加“AB⊥AC”的条件才是真命题
D．增加“三棱锥A－BCD是正三棱锥”
的条件才是真命题
9. 下列各式中，若1＜k＜n, 与Cnk不等的一个是 （ ）
A．
Cn+1k+1 B．
Cn－1k－1 C．
Cn－1k D．
Cn－1k+1
10. 从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 （ ）
A．P102P403 B．C102P31P44C103 C．C152C403P55 D．C102C403
11.
如果一个三位正整数形如“
”满足
，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为 （ ）
A．240 B．204 C．729 D．920
12.
使得多项式
能被5整除的最小自然数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13. 已知两个正数x,y满足x＋y=4，则使不等式
≥m，恒成立的实数m的取值范围是
14. 已知
>b，·b=1则
的最小值是
15.
已知圆C的方程为
定点M(x0,y0),直线
有如下两组论断:
第Ⅰ组 第Ⅱ组
(a)
点M在圆C内且M不为圆心 (1) 直线
与圆C相切
(b) 点M在圆C上
(2) 直线与圆C相交
(c )点M在圆C外
(3) 直线与圆C相离
由第Ⅰ组论断作为条件,第Ⅱ组论断作为结论,写出所有可能成立的命题 .
(将命题用序号写成形如
的形式)
16. 过直线
上一点M向圆
作切线，则M到切点的最小距离为
_ ____.
17.
设曲线
在点
处的切线斜率为
，且
,对一切实数，不等式
恒成立（
）.
（1）求
的值；
（2）求函数的表达式；
（3）求证：
.
18.
m解关于的不等式
＞0.
19. 如图9-3，已知：射线OA为y=kx(k>0，x>0)，射线OB为y= －kx(x>0)，动点P(x，y)在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k.
（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；
（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域.
20.
已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且
·
=0，BC=2AC，
（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使
=λ
？
请说明理由..
21. 已知一条曲线上的每个点到A（0,2）的距离减去它到x轴的距离差都是2.
（1）求曲线的方程;
（2）讨论直线A(x－4)+B(y－2)=0(A，B∈R)与曲线的交点个数.
22．如图所示，已知圆
为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
|
，求
的取值范围.
高三数学能力训练4参考答案
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| B | C | A | B | B | A | B | A | D | B | A | C |
13. m≤9/4
14. 
15. 
9
16. 
17. ⑴解：
，
, 
, 
……4分
(2)解：
, 
，
又
即
…………8分
(3)证明:
，原式
…
…
…
…
18.
解：原不等式可化为＞0。 即＞0
x（
－1）＞0……3分
当m＞0 时，解得x＜0或x＞
……6分
当m＜0时，解得＜x＜0
……9分
当m=0时，解得x＜0 ……11分
综上，当m＞0时，不等式的解集为
{
＜0或x＞}
当m＜0时，不等式的解集为{
＜x＜0}
当m=0时, 不等式的解集为{＜0.}
……12分
19. （1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
则OM=a
，ON=b。
由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx。
∴PM=
=
，PN =
=
∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=
（OM·PM+ON·PN）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k ①
又由kPM=
-
=
， kPN==
，
分别解得a=
，b=
，代入①式消a、b，并化简得x2-y2=k2+1。
∵y>0，∴y=
（2）由0<y<kx，得 0<<kx
(*)
当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)x>
。
当0<k<1时，由不等式②得x2<
，x<
，∴(*)
<x<。
当k>1时，由不等式②得x2>，且<0，∴(*)x>
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y<x，将它代入函数解析式，得<x
解得<x<
(k>1)，或x∈k（0<k≤1）.
综上：当k=1时，定义域为{xx>}；
当0<k<1时，定义域为{x<x<};
当k>1时，定义域为{x<x<}.
20. ⑴以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系
则A（2，0），设所求椭圆的方程为：
=1(0<b<2),
由椭圆的对称性知OC=OB,由·=0得AC⊥BC，
∵BC=2AC，∴OC=AC，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴
=1,∴b2=
,所求的椭圆方程为
=1
……………5分
（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
由
得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*） ……………8分
∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为
,设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),xP=, 同理xQ=
,
kPQ=
………10分
而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0） ∴kAB=
∴kPQ=kAB，∴与共线，且≠0,即存在实数λ，使=λ. ……12分
21.
解：（1）设点M(x,y)是曲线上任意一点,则
-y=2，
整理=y+2，
所求曲线的方程. C1：当y³0时， x2=8y；
C2：当y<0时，x=0. ……………5分
（2）直线A(x-4)+B(y-2)=0过定点(4,2)且A、B不同时为零，
（数形结合）当B=0时，A¹0，直线x=4与曲线有1个的交点； ……………7分
当B¹0时，令k=-
，则y=k(x-4)+2，与x2=8y联列：x2-8kx+32k-16=0
当D=0时，k=1，即A=-B时，直线与C1和C2各一个交点；
当k>1时，<-1时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；
当
<k<1时，-1<<-时，直线与C1两个交点，和C2一个交点；
当k£时，³-时，直线与C1和C2各一个交点.
……………10分
直线与曲线有1个的交点,当B=0时，A¹0；
直线与曲线有2个的交点, A=-B和³-；
直线与曲线有3个的交点, -1<<-和<-1.
……………12分
22. 解：（1）
∴NP为AM的垂直平分线，∴NA=NM.…………………………2分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为
焦距2c=2. 
……………5分
∴曲线E的方程为
………………6分
（2）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设
……………………8分
，
……………………10分
又当直线GH斜率不存在，方程为
……………………………………12分