2005年2月苏州市高三质量调研卷
数 学 试 题
班级 学号 姓名 得分 2005－4－1
一. 选择题:(题共12小题, 每小题5分，共60分)
1. 如果
是第一象限角, 那么恒有
( )
A. 
B.
C. 
D.
2. 设a、b、c
R, 则
是不等式
恒成立的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
3. 一个等差数列
(公差不为零), 令
,
,
, 则下列关系式中正确的是
( )
A. 
B. 
C.
D. 
4. 把函数
的图象向左平移m个单位, 所得图象关于y轴对称, 则m的
最小值为 ( )
A. 
B.
C.
D.
5. 设※是集合A中元素的一种运算, 如果对于任意的x、y
, 都有x※y, 则称运算※对
集合A是封闭的, 若M
则对集合M不封闭的运算是 ( )
A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法
6. 若函数
的图象可由函数
的图象绕原点顺时针旋转90°得到, 则等于
( )
A. 
B.
C.
D.
7. 图中多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1而截得
的, 且AA1
CC1. 已知截得面A1BC1D1与底面ABCD成45°
的二面角, AB1, 则这个多面体的体积为
( )
A. 
B.
C.
D.
8. 设F1、F2是双曲线
的两个焦点, 点P在双曲线上, 且
·
·
, 则a的值等于
(
)
A. 2 B. 1
C. 
D.
9. 设
是函数
的导数, 的图象如图所示,
则的图象最有可能是
(
)
10. 已知向量
,
, 
则
与
夹
角的范围为 ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 某商场开展促销抽奖活动, 摇奖器摇出的一组中奖号码是8, 2, 5, 3, 7, 1, 参加抽奖的每位顾
客从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这十个号码中任意抽出六个组成一组, 如果顾客抽出的六个号
码中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖. 设一位顾客可能抽出的
不同号码组共有m组, 其中可以中奖的号码共有n组, 则
的值为
( )
A. 
B.
C.
D.
12. 已知
的图象经过点
, 且
, 记
(其中是两个不相等的正实数), 则p与q的大
小关系是 ( )
A. 
B.
C.
D.
二. 填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分)
13. 
展开式中, 
的系数是
. (用数字作答)
14. 若实数x, y满足
, 则
的最大值为
.
15. 已知奇函数满足条件
, 且当
时,
,
则
的值是 .
16. 有以下四个命题
①
的最小值是
②已知
, 则
③
在R上是增函数
④函数
的图象的一个对称点是
其中真命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上)
三. 解答题：(本大题6小题，共74分)
17.（本题12分）在人寿保险业中, 经过随机抽样统计, 得到某城市投保人能活到80岁的概率
为0.60. 试问:
(1) 3个投保人都能活到80岁的概率;
(2) 3个投保人中只有1人能活到80岁的概率;
(3) 3个投保人至少有1人能活到80岁的概率;
18. (本题12分) 已知向量
, 向量b与向量a的夹角为
, 且a·b
,
(1) 求向量b;
(2) 向量
, 其中A、C是△ABC的内角, 若三角形的三内角A、B、C
依次成等差数列, 且与x轴垂直. 试求
的取值范围.
19. (本题12分) 如图, 四棱锥P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝AD＝2, 点M、N
分别为棱PD、PC的中点.
(1) 求证: PD⊥平面AMN;
(2) 求三棱锥P－AMN的体积
(3) 求二面角P－AN－M的大小.
20.（本题12分）已知
为抛物线
上任意一点, 直线l为过点A的切线, 设直线l交
y轴于点B. Pl, 且
.
(1) 当A点运动时, 求点P的轨迹方程;
(2) 求点
到动直线l的最短距离, 并求此时l的方程.
21. (本题12分) 已知
定义在区间
上, 且
, 设
且
.
(1)求证: 
(2)若
, 求证: 
.
22. （本题14分）已知函数
.
(1) 求的反函数
及其定义域;
(2) 数列, 
, 设
, 数列
的前n项和
为
, 试比较与
的大小, 并证明你的结论.
2005年2月苏州市高三质量调研卷
数 学 试 题(答卷纸)
班级 学号 姓名 得分
一. 选择题（每小题5分，共60分） 2005－4－1
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. ; 14. ; 15.; 16. ;
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解:
18．（本小题满分12分）
解:
19．（本小题满分12分）
解:
20．（本小题满分12分）
解:
21．（本小题满分12分）
解:
22．（本小题满分14分）
解：
数 学 参 考 答 案
一. 选择题（每小题5分，共60分） 2005－4－1
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | C | B | D | D | D | B | C | D | D | B |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 20 ; 14. 7 ; 15. －1 ; 16. ③ ④ ;
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解: (1)设3个投保人都能活到80岁的事件为A, ……(1分)则
……(2分)
(2)设3个投保中有1人能活到80岁的事件为B, ……(3分)
则
,……(7分)
(3)设3个投保人中至少有1人能活到80岁的事件为C, ……(8分)
则
,……(11分)
答: 略……(12分)
18．（本小题满分12分）
解: 设
, 则
,……(1分)且
.……(3分)
∴解得
或
或
……(5分)
(2)
, ……(6分) ∵b⊥x轴, ∴,……(7分)
∴b＋c＝
,……(8分)
∴ b＋c 2＝
……(10分)
∵
, ∴
.……(12分)
19．（本小题满分12分）
证明: (1) ∵ABCD是正方形, ∴CD⊥AD
∵PA⊥底面ABCD,
∴AD是PD在平面ABCD内的射影,∴CD⊥PD……(2分)
在△PCD中M、N分别是PD、PC的中点, 则MN∥CD,
∴PD⊥MN, 在△PCD中PA＝AD＝2, M为PD的中点.
∴PD⊥AM, ∴PD⊥平面AMN……(4分)
(2) ∵CD⊥AD, CD⊥PD, ∴CD⊥平面PAD.
∵MN∥CD, MN⊥平面PAD
又AM
平面PAD ∴ MN⊥AM, ∠AMN＝90°
在Rt△PCD中,PA＝AD＝2, M为PD的中点, AM＝PM＝.……(6分)
又MN＝CD＝1∴
.……(7分)
∵PM⊥平面AMN, PM为三棱锥P—AMN的高.
……(8分)
(3) ∵作MH⊥AN于H, 连接PH, ∵PM⊥平面AMN, ∴PH⊥AN , ∠PHM为二面角P—AN—M
的平面角. ……(10分)
∵PM⊥平面AMN, ∴PM⊥MH. 在Rt△AMN中, MH
在Rt△PMH中, tan∠PHM
,……(11分)
∴∠PHM＝60°, 则二面角P—AN—M的大小为60°……(12分)
20．（本小题满分12分）
解: (1)设
, 因为
,……(1分)
所以过点A的切线方程为
……(2分)
令
, 则
, B点坐标为
.……(3分)
又
, ∴
消去a, 得
……(6分)
(2)设C到l的距离为d, 则
……(8分)
设
, 则
为t的增函数……(10分)
∴
……(11分)
故C到l的最短距离为
, 此时l的方程为
……(12分)
21．（本小题满分12分）
解: (1)∵
, 
……(1分)
∴
……(2分)
∵ ∴
……(4分)
∵
,∴
……(5分)
∴
∴
即
……(6分)
(2) ∵
且
……①……(8分)
又
＝
……(9分)
……②……(11分)
①＋②得: 
, ∴
……(12分)
22．（本小题满分14分）
解: (1)设
, 则
,
∴
……(1分)
,
∴
或
. ∴所求的反函数是: 
其定义域是: 
.……(4分)
(2) ∵
, ∴
……(6分)
又
,
∴
……(8分)
……(9分)
∵
,
则当
时, 有
,……(12分)
∴
……(13分)
∴
……(14分)