如皋市2006届高三数学综合测试
一、选择题：每小题5分，共12小题，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．
已知集合
，若
，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．不为零的任意实数
2． 下列函数中周期是2的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3． 下列命题中正确的是（ ）
A．若直线
∥平面M，则直线的垂线必平行于平面M；
B．若直线与平面M相交，则有且只有一个平面经过
且与平面M垂直；
C．若直线
平面M，
相交，且直线⊥，⊥
，则⊥M；
D．若直线∥平面M，直线⊥，则⊥M．
4．
已知
展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和为（
）
A．
B．
C．1或 D．1或
5．
若函数
的图象的顶点在第四象限，则函数
的图象是（ ）
A B C D
6．
已知实数满足
．
命题P：函数
在区间[0，1]上是减函数．
命题Q：
是
的充分不必要条件．则（ ）
A．“P或Q”为真命题； B．“P且Q”为假命题；
C．“┐P且Q”为真命题； D．“┐P或┐Q”为真命题
7． 已知两个点M（--5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使PM--PN=6，则称该直线为“B型直线”．给出下列直线①
；②
；③
；④
．其中为“B型直线”的是（ ）
A．①③ B．①② C．③④ D．①④
8．
在数列{
}中，
，
（
），则
为（ ）
A．34 B．36 C．38 D．40
9．
已知点B
，点O为坐标原点，点A在圆
上，则向量
的夹角
的最大值与最小值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设函数
为定义域在R上的以3为周期的奇函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．某商场宣传在“五一黄金周”期间对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；
②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；
③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠．
某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）
A．608元 B．574.1元 C．582.6元 D．456.8元
12．已知直线
（不全为0）与圆
的公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．66条 B．72条 C．74条 D．78条
二、填空题：每小题4分，共4小题，共计16分．将答案填在题中的横线上．
13．已知函数是R上的减函数，A（0，--3），B（--2，3）是其图象上的两点，那么不等式
的解集是______________．
14．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是______．15．双曲线
的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足PF1+PF2=
，则⊿PF1F2的面积为____________．
16．有一个正四棱锥，它的底面边长和侧棱长均为，现在要用一张正方形的包装纸将它完全包住．（不能裁剪纸，但可以折叠）那么包装纸的最小边长应为__________________．
三、解答题：共6大题，共计74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．本题满分12分）
已知在⊿ABC中，角A、B、C的对边为
，向量
，
，
⊥
．
（1）求角C．
（2）若
，试求
的值．
18．（本题满分12分）
粒子A位于数轴
处，粒子B位于
处，这两粒子每隔1秒向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为
，向左移的概率为
．
（1）求第三秒时，粒子A在点
处的概率．
（2）求第2秒时，粒子A、B同在点处的概率．
19．（本题满分12分）
已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，
侧棱BB1=4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，
交B1C于点F，
（1）求证：A1C⊥平面BED；
（2）求A1B与平面BDE所成角的正弦值．
20．（本题满分12分）
已知函数
．
（1）将函数
的图象向右平移两个单位，得到函数
，求的解析式．
（2）函数
与函数的图象关于直线
对称，求的解析式；
（3）设
，
的最小值是
，且
．求实数的取值范围．
21．（本题满分12分）
自点A（0，－1）向抛物线C：
作切线AB，切点为B，且B在第一象限，再过线段AB的中点M作直线与抛物线C交于不同的两点E、F．直线AF、AE分别交抛物线C于P、Q两点．
（1）求切线AB的方程及切点B的坐标．
（2）证明
．
22．（本题满分14分）由原点O向三次曲线 
引切线，切点为P1
（O，P1两点不重合），再由P1引此
曲线的切线，切于点P2
（P1，P2不重合），如此继续下
去，得到点列：
．
（1）求
；
（2）求
与
满足的关系式；
（3）若
，试判断与的大小关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | C | C | C | A | A | B | C | C | D | C | B |
二、填空题（每小题4分，共4小题，共计16分）
13．
14．0.8 15．1 16．
三、解答题：（共6大题，共计74分）
14．（本题满分12分）
解：（1）由
得
即
因为
，所以
．
（2）因为
．（因为
）
15．（本题满分12分）
解：（1）依题意有粒子A有以下三种走法：右右左，右右左、左右右，其概率为
.
(2)粒子A只能为：右右走法，其概率为
，粒子B有两种走法：右左、左右，其概率为
，则粒子A、B同在处的概率是
．
16．（本题满分12分）
解法一
（1）证明：连AC交DB于点O，
由正四棱柱性质可知AA1⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴A1C⊥BD，
又∵A1B1⊥侧面BC1且BC1⊥BE ∴A1C⊥BE，
又∵BD∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE．
（2）设A1C交平面BDE于点K，连结BK，则∠A1BK为A1B与平面BDE所成的角
在侧面BC1中，BE⊥B1C∴⊿BCE∽⊿B1BC
∴
又BC=2，BB1=4，∴CE=1．
连OE，则OE为平面ACC1A1与平面BDE的交线，∴OE∩A1C=K
在Rt⊿ECO中，
，∴
又
∵
又
，∴
在Rt⊿A1BK中，
，即为A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
解法二：
（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
．
D（0，0，0）， A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）
A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），
设点E（0，2，t）
∵BE⊥B1C，∴
，∴E（0，2，1）
又
，
，
∴
∴A1C⊥DB，且A1C⊥BE，∴A1C⊥平面BDE．
（2）设A1C∩平面BDE=K
则
∴
∴
由
⊥ 
得
∴
，…………①
同理有
得
…②
由①②联立，解得
∴
∴
，又易知
∴
，即所求角的正弦值为
．
20．（本题满分12分）
解：（1）易得
．
（2）设P
为的图像上任一点，点P关于直线的对称点为
∵点在的图像上，
∴
，即得
．
（3）
下面求的最小值．
①当
，即
时
由
，得
，所以
．
②当
即
时在R上是增函数，无最小值，与
不符．
③当
即
时，在R上是减函数，无最小值，与不符．
④当
即
时，
，与最小值
不符．
综上所述，所求的取值范围是．
21．（本题满分12分）
解：（1）设切线AB的方程为
，
代入得
，由
得
，AB的方程为
，
易得切点B（1，1）．
（2）线段AB的中点M
，设过点M的直线的方程为
，与交于
由
，有
．
再设P
，Q
，要证，只要PQ∥AB，证
即可．
由
．
∵A、P、F三点共线，有
，∴
，∴
，又
∴
同理由A、E、Q三点共线得
∴
所以PQ∥AB，有．
22．（本题满分14分）
解：（1）由得
过曲线上的点P1的切线L1的方程为
又∵切线L1过原点O，有
化得
．
（2）过曲线上的点
处的切线
方程为
过点
得
由于
，分解因式并约简，得
∴
∴
．
（3）由（2）得：
，∴
故有数列
是首项为
，公比为
的等比数列．
∴
，∴
∵，∴当
为偶数时，
；当为奇数时
．