松江区2005学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学
一、填空题：
1、 函数
的反函数是 
。
2、 复数
满足
，则
。
3、 已知斜率为
的直线
与两坐标轴围成面积为
的三角形，则直线的方程为 
。
4、 不等式
的解集是 
。
5、 已知
，点
是角
终边上的点，且
，则
。
6、 某地自行车的牌照号码由六个数字组成，号码中每个数字可以是
到
这十个数字中的任一个。那么某人的一
辆自行车牌照号码中六个数字中
恰好出现两次的概率是 
（精确到
）。
7、 在
中，
，则
。
8、 已知
、
是实系数一元二次方程的两虚根，
，且
，则
的取值范围为 
（用区间表示）。
9、 已知直线
和
的夹角为
，那么
的值为 
。
10、对长为
、宽为
的一块长方形地面进行绿化，要求四周种花卉，花卉带的宽度相等，中间种草，并且种草的面积不小于总面积的一半，则花卉带的宽度范围为 
（用区间表示）。
11、如果
是定义在
上的奇函数，且当
时，的图象
如图所示。则不等式
的解是 
。
12、在公差为
的等差数列
中，若
是的前
项和，则数列
也成等差数列，且公差为
，类比上述结论，相应地在公比为
的等比数列
中，若
是数列的前项积，则有＝ 
。
二、选择题：
13、若
，
，则
等于…………（ B ）
A. 
B.
C.
D.
无法计算
14、方程
实数解的个数为………… ……………（ C ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
15、与函数
的图象相同的函数是………………………………………（ D ）
A. 
B.
C.
D. 
16、设等差数列的前项和，
，若
，
，则使
成立的最大自然数为………………………………………………………（ C ）
A. 2005 B. 2004 C. 4008 D. 4009
三、解答题：
17、已知
为复数，
为实数，
，且
，求。
解：
，
，∵，∴
， ∴
，∴
。
18、设
，
（1）若
，求的值；（2）若
，求的值。
解：（1）
，
，∴
。
（2）
，即
，
时，
； 
时，
；
时，
； 
时，
。 综上得 
。
19、关于
的方程
的两根为
，且
，若数列
，
的前100项和为0，求
的值。
解：
，
∵
，∴
，
∵，∴
。
20、某车队2000年初以98万元购进一辆大客车，并投入营运，第一年需支出各种费用12万元，从第二年起每年支出费用均比上一年增加4万元，该车投入营运后每年的票款收入为50万元，设营运年该车的盈利额为
元，
（1）写出关于的函数关系式；
（2）从哪一年开始，该汽车开始获利；
（3）若盈利额达最大值时，以20万元的价格处理掉该车，此时共获利多少万元？
解：（1）
。
（2）令
，即
，
∴从2002年开始，该汽车开始获利。
（3）
，即
时，
，∴此时共获利
万元。
21、已知等差数列中，公差
，其前项和为，且满足
，
（1）求数列的通项公式；
（2）通过
构造一个新的数列，是否存在一个非零常数
，使也为等差数列；
（3）求
的最大值。
解：（1）∵等差数列中，公差，
∴
。
（2）
，
，令
，即得
，
数列为等差数列，∴存在一个非零常数，使也为等差数列。
（3）
，
∵
，
即
， ∴
时，
有最大值
。
22、已知函数
是
上的奇函数，当
时，
，
（1）判断并证明在
上的单调性；
（2）求的值域； （3）求不等式
的解集。
解：（1）设
，则
，
∵
，
∴
，即在上是增函数。
（2）∵
，∴当时，
；
∵当
时，
。
综上得 的值域为 
。
（3）∵
，又∵，∴
，此时单调递增， ∵
，∴时，
。令
，
即
，
∴不等式的解集是
。