钦州市大寺中学2006届高三数学（理科）模拟练习（3）
2006．3．16
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．若集合
，
，则
中元素个数为
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2．在下列向量中，与向量a=（1，-
平行的单位向量是t x
A．（1，-
B.(
,1)
C.(
) D.(-
)
3．在△ABC中，A＜B是cosA＞cosB的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．方程
的根所在的区间是
A.（1，2） B.（
，
） C.（
，） D.（
，
）
5．若
的值能被5整除，则
的可取值的个数有
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
6．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是
A. 
B.
C. 
D.
7．下面四个命题： ①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线
⊥平面α内所有直线”的充要条件是“⊥平面
”；
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”；其中正确命题的序号是
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
8．函数y＝－sinx＋cosx在x∈[－]时的值域是
A. [0，] B.[－，0] C.[0，1] D.[0，]
9．已知定义在实数集上的函数
满足f (x＋1)＝＋2，则f －1(x＋1)的表达式是
A.2x－2 B.2x－1 C.2x＋2 D.2x＋1
10．实数满足
,则
的值为
A．8 B．－8 C．8或－8 D．与θ有关
11．若函数
的图象如图，则a的取值范围是
A．（－∞,－1） B．（－1，0）
C．（0，1） D．（1，+∞）
12．双曲线的两个焦点为
，以
为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为
A、
B、
C、
D、
二．填空题（每小题4分，共16分）
13．函数
的最大值是
14．光线从点A（1，1）出发，经y轴反射到圆C：（x-5）2+(y-7)2=4的最短路程等于______
15．过点A（0，-
，则AM的最大值为
16．直角三角形ABC的斜边AB在平面内
，且平面ABC与所成的二面角为
，若直角边AC与平面成
的角，则BC和平面所成的角为
三．解答题（第17、18、19、20、21题每题12分，第22题14分，共74分）
17．已知实数
满足不等式
，试判断方程
有无实根，并给出证明．
18．已知数列
是等比数列，其首项
，公比为2；数列
是等差数列，其首项
，公差为
，且其前
项的和
满足
（1）求数列
的前项的和
；
（2）在数列
中任取一项
，在数列
中任取一项
，试求满足
的概率。
19．向量
，
，
，a为常数
（1）求
关于x的函数关系式
（2）若
时，
的最小值为－2，求a的值
（3）用五点作图法作出（2）结论中函数在一个周期内的图象。
20．如图，直二面角D-AB-E中，四边形
ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为
CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）
求证：AE⊥平面BCE；
（2） 求二面角B-AC-E的大小；
（3） 求点D到平面ACE的距离。
21．已知函数f(x)是在（0，+
）上每一点处可导的函数，若
上恒成立，
（1）求证：函数
上单调递增；
（2）求证：当
22．在直角坐标系内，△ABC的两个顶点C、A的坐标分别为（-
，三个内角A、B、C满足2sinB=
（1） 求顶点B的轨迹方程；
（1）
过点C做倾斜角为θ的直线与顶点B的轨迹交于P、Q两点，当θ∈(0,
时，求△APQ面积的最大值.
钦州市大寺中学2006届高三数学（理科）模拟练习（3）
答 题 卡
2006.3.16
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 得分 | |||||||||
一、选择题 :用2B铅笔填涂。 （本大题共12小题, 每小题5分, 共60分）
| 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] |
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
| 13 14 15 16 |
三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
| 17、（本小题满分12分） |
| 18．（本题满分12分） |
| 19．（本题满分13分） |
|
|
| 21．(本题满分12分) |
| （接21题） |
| 22．（本题满分13分） |
钦州市大寺中学2006届高三数学（理科）模拟练习（3）
参考答案
一．选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | D | C | B | D | D | D | D | B | A | D | A |
二．填空题
13．1；14．6
-2；15．
；16．
。
三．解答题
17．解：（1）
等价于
…………………………3’
解得
．…………6’
（2）方程的判别式
．…………8’
∵ 
，∴
．即
．…………………………………………10’
∴ 
．
由此得方程无实根．………………………………………12’
18．（1）解：由题意得：
，由，得
……………4’
…………………………………………………6’
（2）解：
，为1，2，4，8；
，为1，4，7，10
有序实数对
共有16个，……………………………………………………………………8’
当时，取1，4，7共3个；当
时，取1，4，7共3个
当
时，取1，4，7共3个；当
时，取1，4共2个；……………………10’
满足题意的点共11个，所求的概率为
………………………………………………………12’
19．解：（1）
…………………………………………4’
（2）
，
…………………………………………………………………8’
（3）………………………………………………………………………………………13’
20．解法一：（1） ∵BF⊥平面ACE
BF⊥AE
又二面角D-AB-E为直二面角且CB⊥AB CB⊥平面ABE CB⊥AE
∴AE⊥平面BCF即AE⊥平面BCE
……………………2分
（2） 连结BD交AC于G，连结FG。由ABCD
是边长是2的正方形有：BG⊥AC且BG=；
又BF⊥平面ACE。所以由三垂线定理得：FG⊥AC，
于是∠BGF是二面角B-AC-E的平面角。………………4分
又由①知：AE⊥平面BCE AE⊥BE
∴由AE=BE知AEB是等腰直角三角形，BE=
又在直角三角形BCE中，
，
∴直角三角形BFG中，sin∠BGF=
……………………6分
故二面角B-AC-E的大小为
.
……………………7分
（3） 过E作EO⊥AB交AB于O点，OE=1。由二面角D-AB-E为直二面角知：EO⊥平面ABCD。 ……………………9分
设D到平面ACE的距离为h，由
……………………11分
∴点D到平面ACE的距离为
。
……………………12分
解法二：（1）同解法一。 ……………………2分
（2） 如图，以线段AB的中点为原点为O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系。 ……………………4分
由AE⊥平面BCE有AE⊥BE。在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，则OE=1，A(0,-1,0)、E(1,0,0)、C(0,1,2)。
，
. ……………………5分
设平面AEC的一个法向量为n=(x,y,z)，
则
,
从而平面AEC的一个法向量为n=(1,-1,1)…………7分
又平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0).
∴cos〈m,n〉= 
……………………9分
故二面角B-AC-E的大小为
. ……………………10分
（3）∵AD//z轴且AD=2 
∴点D到平面ACE的距离d=
cos〈,n〉= 
…………………12分
21．（1）证明：由g(x)=
′(x)=
由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.
从而g(x)=
…………………………………… 5分
（2）由（1）知g(x)=
在x1＞0,x2＞0时，
……………………9分
于是f(x1)＜
………………………11分
两式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) ………………………………………………12分
22．解：
（1）因为2sinB=
,根据正弦定理得2b=
又b=2
，所以a+c=4由椭圆定义知顶点B的轨迹为椭圆，其方程为
4’
设PQ方程为y=tanθ(x+),θ∈(0,
由
得(1+4tan2θ)x2+8xtan2θ+12tan2θ-4=0 ……………………6’
设P（x1,y1），Q（x2,y2）,则x1+x2=
……………………8’
又PQ=
点A到PQ的距离d=
,θ∈(0, ……………………10’
S△ABC=
≤2…………………………………12’
当且仅当
△APQ的最大面积为2. …………13’