成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题
数 学（理科）
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 得分 | |||||||||
注意事项：全卷满分为150分，完成时间为120分钟。
| 参考公式：如果事件A、B互斥，那么 | 球的表面积公式 |
| P(A＋B)＝P(A)＋P(B) | S＝4 |
| 如果事件A、B相互独立，那么 | 其中R表示球的半径 |
| P(A•B)＝P(A)•P(B) | 球的体积公式 |
| 如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 |
|
|
| 其中R表示球的半径 |
R2
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。
1．lg8＋3lg5的值为
(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3
2．若
，则下列不等式中总成立的是
(A) 
(B)
(C) 
(D)
3．设
或 
或
，则
是
的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4．已知
是R上的增函数，若令
，则
是R上的
(A) 增函数 (B) 减函数
(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数
5．已知直线l⊥平面α，直线m
平面β，有下列四个命题：①
②
③
④
。其中真命题是
(A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③
6．将函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象，则向量可以是
(A) 
(B)
(C)
(D) 
7．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为
(A) 
(B)
(C)
(D)
8．已知
，且
的图象的对称中心是(0,3)，则a的值为
(A) (B) 2 (C) (D) 3
9．设向量
，
，若t是实数，且
，则
的最小值为
(A) (B) 1 (C) (D)
10．有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为
(A) 168 (B) 84 (C) 56 (D) 42
11．已知定义在R上的函数满足
，且
，
，则
＝
(A) －2 (B) －1 (C) 0 (D) 1
12．对于集合M、N，定义M－N=
，
。设
，则
(A) 
(B)
(C) 
(D)
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
把答案填在题中横线上。
13．
的展开式中，x10的系数为
（用数字作答）。
14．在数列
和
中，bn是an和an+1的等差中项，a1=2且对任意
都有
，则的通项bn=
。
15．若规定
，则不等式
的解集为
。
16．如图，棱长为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
| 得分 | 评卷人 |
17．（共12分）
甲、乙两人参加一项智力测试。已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。
（I）求甲答对试题数
的概率分布及数学期望；
（II）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率。
| 得分 | 评卷人 |
18．（共11分）
已知ΔABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c,b＜a＜c且
。求sin2A的值。
| 得分 | 评卷人 |
19．（共14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点。
（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
（III）求二面角F—PC—E的大小。
| 得分 | 评卷人 |
20．（共12分）
已知向量
、t为正实数，
。
（I）若
，求k的最大值；
（II）是否存在k、t使
？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。
| 得分 | 评卷人 |
21．（共12分）
某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润
万元。当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润
万元。问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
| 得分 | 评卷人 |
22．（共13分）
已知定义在（－1,1）上的函数f (x)满足
，且对x,y
时，有
。
（I）判断在(－1，1)上的奇偶性，并证明之；
（II）令
，求数列
的通项公式；
（III）设Tn为数列
的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，有
成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。
成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题
数学试题（理科）参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．原式=3lg2+3lg5=3lg10=3，选（D）。
2．由
，选（C）或令特值：a=2,b=1，排除（A）、（D），再令
，排除（B）。
3．
；反之，
推不出q
推不出。选（A）
4．取
，则
为减函数，选（B）。
5．对②、④可画图举出反例，选（D）。
6．
，由的图象变为
的图象，
选（B）。
7．有三种可能的情况：①连续3次都掷得正面，其概率为
；②第一次掷得正面，第二次掷得反面，其概率为
；③第一次掷得反面，第二次掷得正面，其概率为。因而恰好得3分的概率为++=，选（A）。
8．
，其对称中心是（0,a+1）。∴a+1=3
a=2。选（B）
9．
选（C）。
10．分两类：①甲运B箱，有
种；②甲不运B箱，有
。
不同的分配方案共有+=42（种），选（D）。
11．
的周期为3。又
，
从而
故
+
。选（A）。
12．由题意，A=
。
，选（C）。
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．设
由
。
的系数为
。
14．
。
是公比为
的等比数列
。
15．
或1<x<2。
。
16．可求得
设该球的半径为R，则AO=R。由
+
，得
。
三、解答题：（共74分）
17．解：（I）甲答对试题数的可能取值为
0、1、2、3。
。
甲答对试题数的概率分布如下：
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
故甲答对试题数的数学期望为
4分
。
2分
（II）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A、B，则
，
。
2分
、B相互独立，
甲、乙两人都未通过测试的概率为
。
2分
∴甲、乙两人至少有一个通过测试的概率为
。
2分
18．解：由有
，
2分
即
。
2分
即
。
。
1分
∵A、B、C是三角形的内角，
，
。
2分
又∵b<a<c，∴A为锐角。
。
2分
。
2分
19．解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0) , B(a,a,0)，
|
。
。
。
又
。
故异面直线AE、DP所成角为
。
5分
（II）∵F∈平面PAD，故设F(x,0,z)，则有
。
∵EF⊥平面PBC，∴
且
。
∴
又
，
从而
∴
，取AD的中点即为F点。
4分
（III）∵PD⊥平面ABCD，
∴CD是PC在平面ABCD上的射影。
又∵CD⊥BC，由三垂线定理，有PC⊥BC。
取PC的中点G，连结EG，则EG//BC。
∴EG⊥PC。
连结FG。
∵EF⊥平面PBC，EG是FG在平面PBC上的射影，且PC⊥EG，
|
∴∠FGE为二面角F―PC―E的平面角。
。
。
∴二面角F―PC―E的大小为。
5分
20．解：
。
2分
（I）若
则
，
即
。
2分
整理，得
。
当且仅当
，即t=1时，“=”成立。
。
3分
（II）假设存在正实数k、t，使，则
。
2分
化简，得
，即
。
2分
、t是正实数，故满足上式的k、t不存在。
∴不存在这样的正实数k、t，使。
1分
21．解：在实施规划前，由题设（万元），知每年只须投入40万，即可获得最大利润100万元。
则10年的总利润为W1=100×10=1000（万元）。 3分
实施规划后的前5年中，由题设知，每年投入30万元时，有最大利润
（万元）。
前5年的利润和为
（万元）。
3分
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x）万元于外地区的销售投资，则其总利润为
。
3分
当x=30时，W2max=4950（万元）。
从而10年的总利润为
（万元）。
2分
，故该规划方案有极大实施价值。
1分
22．解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。
又当x=0时，
即
。
∴对任意
时，都有
。
为奇函数。
3分
（II）
满足
。
。
在
上是奇函数，
∴
，即
。
是以
为首项，以2为公比的等比数列。
。
5分
（III）
=
。
假设存在正整数m，使得对任意的，
有成立，
即
对恒在立。
只需
，即
故存在正整数m，使得对，有成立。
此时m的最小值为10。 5分