成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题
数 学（文科）
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | ||||
| 得分 | |||||||||
注意事项：全卷满分为150分，完成时间为120分钟。
| 参考公式：如果事件A、B互斥，那么 | 球的表面积公式 |
| P(A+B)=P(A)+P(B) | S=4 |
| 如果事件A、B相互独立，那么 | 其中R表示球的半径 |
| P(A•B)=P(A)•P(B) | 球的体积公式 |
| 如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 |
|
|
| 其中R表示球的半径 |
R2
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。
1．lg8+3lg5的值为
(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3
2．若
，则下列不等式中总成立的是
(A) 
(B)
(C) 
(D)
3．设
或 
或
，则
是
的
(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4．已知
是R上的增函数，若令
，则
是R上的
(A) 增函数 (B) 减函数
(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数
5．已知直线l⊥平面α，直线m
平面β，有下列四个命题：①
②
③
④
。其中真命题是
(A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③
6．将函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象，则向量可以是
(A) 
(B)
(C)
(D) 
7．一组样本数据，容量为150。按从小到大的组序分成10个组，其频数如下表：
| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 15 | 17 | 14 | 18 | x | 13 | 19 | 16 | 12 | 11 |
那么，第5组的频率为
(A) 0.1 (B) 10 (C) 0.15 (D) 15
8．函数y=f (x)的图象如右图所示，则y =log0.2f (x)的示意图是
9．设向量
，
，若t是实数，且
，则
的最小值为
(A) 
(B)
1
(C) 
(D)
10．有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为
(A) 168 (B) 84 (C) 56 (D) 42
11．已知
，则
=
(A)
(B) 
(C)
1 (D)
0
12．已知集合
满足
，则p与q的关系为
(A) 
(B) 
(C)
(D) 
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
把答案填在题中横线上。
13．
的展开式中，x10的系数为
（用数字作答）。
14．在数列
和
中，bn是an和an+1的等差中项，a1=2且对任意
都有
，则的通项bn= 。
15．若角
、
满足
<<<
，则
的取值范围是 。
16．如图，棱长为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为 。
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）
解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。
| 得分 | 评卷人 |
17．（共12分）
甲、乙两人参加一项智力测试。已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题。规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过。
（I）求甲乙两人均通过测试的概率；
（II）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率。
| 得分 | 评卷人 |
18．（共11分）
已知ΔABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c,b<a<c且
。求sin2A的值。
| 得分 | 评卷人 |
19．（共14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E是PB的中点。
（I）求异面直线PD、AE所成的角；
（II）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；
| 得分 | 评卷人 |
20．（共12分）
已知向量
、t为正实数，
。
（I）若
，求k的最大值；
（II）是否存在k、t使得
？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。
| 得分 | 评卷人 |
21．（共12分）
某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润
万元。当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润
万元。问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
| 得分 | 评卷人 |
22．（共13分）
已知数列中，
，其前n项和为Sn，满足
，
且
。数列的满足
。
（I）求数列、的通项an与bn；
（II）若
记
为数列
的前n项和，求证：
。
成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题
数学试题（文科）参考答案及评人人分意见
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．原式=3lg2+3lg5=3lg10=3，选（D）。
2．由
，选（C）或令特值：a=2,b=1，排除（A）、（D），再令
，排除（B）。
3．
；反之，
推不出q
推不出。选（A）
4．取
，则
为减函数，选（B）。
5．对②、④可画图举出反例，选（D）。
6．
，由的图象变为
的图象，
选（B）。
7．
，（选A）
8．
是减函数，而在（0，1）是减函数，在（1，2）是增函数，故
在（0，1）是增函数，而在（1，2）应是减函数，选（C）。
9．
选（C）。
10．分两类：①甲运B箱，有
种；②甲不运B箱，有
。
不同的分配方案共有+=42（种），选（D）。
11．
。周期T=6。且
∴
=
。选（A）
12．
。
非空，B非空。设
，观察数轴，有
。即x=2是方程
的一个根，把
代入，有
。选（D）。
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13．设
由
。
的系数为
。
14．
。
是公比为
的等比数列
。
15．
又
即
。
[注]：只有左界者得1分。
16．可求得
设该球的半径为R，则AO=R。由
+
，得
。
三、解答题：（共74分）
17．解：（I）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A、B，则
，
2分
。
2分
∵A、B相互独立，
∴甲、乙两人都通过测试的概率为
。
3分
（II）∵A、B相互独立，
∴甲、乙两人都通过测试的概率为
。
3分
∴甲、乙两人至少有一人通过测试的概率为
。
2分
18．解：由有
，
2分
即
。
2分
即
。
。
1分
∵A、B、C是三角形的内角，
，
。
2分
又∵b<a<c，∴A为锐角。
。
2分
。
2分
19．解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0) , B(a,a,0)，
C(0,a,0),P(0,0,a)
。
。
。
又
。
故异面直线AE、DP所成角为
。
7分
（II）∵F∈平面PAD，故设F(x,0,z)，则有
。
∵EF⊥平面PBC，∴
且
。
∴
又
，
从而
∴
，取AD的中点即为F点。
7分
20．解：
。
2分
（I）若
则
。
。
2分
整理，得
3分
（II）假设存在正实数k、t，使，则
。
2分
化简，得
。
2分
、t是正实数，故满足上式的k、t不存在。
∴不存在这样的正实数k、t，使。
1分
21．解：在实施规划前，由题设（万元），知每年只须投入40万，即可获得最大利润100万元。
则10年的总利润为W1=100×10=1000（万元）。 3分
实施规划后的前5年中，由题设知，每年投入30万元时，有最大利润
（万元）。
前5年的利润和为
（万元）。
3分
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x）万元于外地区的销售投资，则其总利润为
。
3分
当x=30时，W2max=4950（万元）。
从而10年的总利润为
（万元）。
2分
，故该规划方案有极大实施价值。
1分
22．解：（I）n=1时，
由
。
1分
当n≥2时
①
②
由②—①，有
2分
从而，
。
∴数列是以1为首项，
为公比的等比数列。
∴
。
3分
∴ 
1分
（II）当
时，
。
1分
。
∵
③
。
④
由③—④，得
2分
。
。
1分
。
1分