四川省重点中学高2006级数学能力题训练三
（由四川教科院组织名校教师联合编写）
1.
已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3
，c－b＝4－4a＋，则a、b、c的大小关系是
（ ）
A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
2.
设实数x,
y满足x + y=4, 则
的最小值为 （ ）
A． 
B．4 C．2 D．8
3. 对“a、b、c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2≠0； ②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.
定义在R上的函数y=f(x)，在（－∞，
）上是增函数，且函数 y=f(x+)是偶函数，当x1<，x2>且
时，有
（ ）
A．f(2－x1)> f(2－x2) B．f(2－x1)= f(2－x2)
C．f(2－x1)< f(2－x2) D．－f(2－x1)< f(x2－2)
5.
已知a
b，且a
sin
+acos－
=0 ，bsin+bcos－
=0，则连接（a，a），
（b，b）两点的直线与单位圆的位置关系是
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6.
M（
为圆
内异于圆心的一点，则直线
与该圆的位置关系为 （ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
7.
在如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数
取得最大值的最优解有无数个，则a为
（ ）
A．－2 B．2 C．－6 D．6
8. 设△ABC的一个顶点是A（3，－1），∠B，∠C的平分线方程分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是 （ ）
A．y=2x+5 B．y=2x+3 C．y=3x+5 D．
9. 三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 （ ）
A．15 B．30 C．36 D．72
10.
若关于
的方程
有且只有两个不同的实数根，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：
，则
（ ）
A．6 B．4 C．2 D．不能确定
12.
抛物线
与直线
交于A、B两点，其中点A的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为F，则FA+FB等于 （ ）
A．7 B．
C．6 D．5
13. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n个图案中有白色地面砖____________块.
14. 电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数
I=
的图象如图
所示，则当
秒时，电流强度是
安
15. 已知点
是函数
上的两个不同点，且
，试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性：①
；②
；③
；④
。其中正确不等式的序号是
.
16.
已知集合A＝｛(x,y)｜
＝2,x、y∈R｝，B＝｛(x,y)｜4x+ay＝16,x、y∈R｝，若A∩B＝
，则实数a的值为
.
17. 已知函数f(x)=sin(wx+j)，xÎR，(其中w>0)的图象与x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又f(2+x)=f(2－x),f(0)<0,求这个函数的解析式.
18.
已知△ABC的周长为6，
成等比数列，求（1）△ABC的面积S的最大值； （2）
的取值范围.
19.
已知
为
的三个内角，
且
.
（1）当
取得最小值时，求
的度数；
（2）当
时，将函数按向量
平移后得到函数
，
求向量
20. 已知向量
.①若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值
21. 已知集合
，集合
，求集合
22.
ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列;（2）a、b、c成等比数列.现给出三个结论：（1）
;（2）
;（3）
.
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之.
高三数学能力训练3参考答案
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| A | C | C | A | A | C | A | A | C | D | B | A |
13. 
14. 5
15. ①③
16. －2
17.
解：
f(2+x)=f(2-x)
f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）
=6-2=4，即T=16，
=
。
……4分
将N（6,0）代入f(x)=sin(x+j)得：sin(
+j)=0，
得：j=2k
+
或j=2k+
(kÎZ),
……8分
f(0)<0, j=2k+(kÎZ),满足条件的最小正数j=, ……10分
所求解析式f(x)=sin(x+)。
……12分
18.
解 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac，
由余弦定理得
, ……4分
故有
，又
从而
……6分
（1）所以
，即
…8分
（2）所以
……12分
， …………14分
19.
解：（1）解：
，当最小时，
或60°，
或90°
（2）解：
，
设
，
， 
20.
①已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，………………2分
…………5分
故知
∴实数
时，满足的条件…………8分
（若根据点A、B、C能构成三角形，必须AB+BC＞CA…相应给分）
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则
，
…………10分 解得
…………12分
21. 解．
，或
，又
或
或
（以上a＜0）
或
，所以
；
，所以
，即
，所以
.
22．解： 可以组建命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0＜B≤
（2）
；
命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列求证：（1）0＜B≤
（2）1＜
≤
命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）
（2）1＜
≤
命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0＜B≤
（2）1＜≤
………………………………………………………………………………………………6分
下面给出命题一、二、三的证明：
（1）∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=
≥
且B∈（0，π），∴0＜B≤
（2）
（3）
∵0＜B≤ ∴
∴
∴
下面给出命题四的证明：
（4）∵a、b、c成等比数列∴b2=a+c，
且B∈（0，π），∴0＜B≤………………………………………………………14分
评分时若构建命题的结论仅一个但给出了正确证明，可判7分；若构建命题完全正确但论证仅正确给出一个，可判10分；若组建命题出现了错误，应判0分，即坚持错不得分原则。