山东省实验中学2006年2月高三统一考试数学试卷（理工类）

山东省实验中学2006年2月高三统一考试数学试卷（理工类）

　　本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。共150分。测试时间120分钟。

第I卷（选择题　共60分）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分；共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

　1. （　　）

　　A. 　　　　　　　　　B. 　　　　　　　　C. 　　　　D.

　2. 对任意实数x，下列函数中的奇函数是（　　）

A. 　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　　　D.

　3. 已知a、b、c为直线，α、β、γ为平面，则下列命题中正确的是（　　）

A.

B.

C.

D.

　4. 若把一个函数的图象按平移后得到的图象，则原图象的函数解析式为（　　）

A. 　　　　　　 B.

C. 　　　　　　 D.

　5. 已知R为全集，，则是（　　）

A.

B.

C.

D.

　6. 平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝1，AD＝2，AA₁＝3，∠BAD＝90°，∠BAA₁＝∠DAA₁＝60°，则对角线A₁C的长为（　　）

　　A. 　　　　　　　 B. 　　　　C. 　　　　　　　　 D.

　7. 下表给出一个“直角三角形数阵”

满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行等j列的数为，则a₈₃等于（　　）

A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. 1

　8. 如果，则cos2θ等于（　　）

　　A. 　　　　 B. 　　　　　　　C. 　　　　　　 D.

　9. 直线，直线，则是直线的（　　）

A. 充要条件　　　　　　　　　　　 B. 既不充分也不必要条件

C. 必要不充分条件　　　　　　D. 充分不必要条件

　10. 设函数在定义域内可导，的图象如下图，则导函数的图象可能为下图中的（　　）

　11. 某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有（　　）

　　A. 36种　　　　　　　　B. 38种　　　　　　　　C. 108种　　　　　　　D. 24种

　12. 已知F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，过F₁作∠F₁PF₂的平分线的垂线，垂足为H，则点H的轨迹为（　　）

　　A. 椭圆　　　　　　　　B. 双曲线　　　　　　 C. 圆　　　　　　　　　　D. 抛物线

第II卷（非选择题　共90分）

二、填空题：本大题共4个小题。每小题4分；共16分。把答案填在题中的横线上。

　13. 对于函数，给定下列四个命题：

①；②；③；④

其中正确命题的序号是______________。

　14. 若展开式的第4项含，则n的值为___________。

　15. 已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦，且AB的倾斜角为30°，则ΔOAB的面积为___________。

　16. 已知A、B、C是半径为1的球面上的三点，A、B两点和A、C两点的球面距离都是，B、C两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为___________。

三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　17. （本小题满分12分）

在ΔABC中，已知

（1）求证，a、b、c成等差数列；

（2）求角B的取值范围。

　18. （本小题满分12分）

现有甲、乙两只暗色口袋，已知甲口袋中装有白球2个，黑球2个，乙口袋内装有白球2个和黑球3个，且所有球只有颜色不同，其大小均相同。现从甲、乙两个口袋中各取1球交换后放回袋中。

（1）求甲口袋中恰有2个白球的概率；

（2）求甲口袋内白球数的数学期望。

　19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD所成角为30°。

（1）求二面角P—CE—D的大小；

（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2。

　20. （本小题满分12分）

已知：命题p：是的原函数，且；命题q：集合，且

（1）求不等式；

（2）求使命题p、q中有且只有一个真命题时实数a的取值范围。

　21. （本小题满分12分）

已知数列{a_n}的首项a₁＝1，前n项的和S_n满足关系式（）

（1）求证：数列{a_n}是等比数列；

（2）设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n}，使，（n＝2，3，4，……），求b_n；

（3）求的和。

　22. （本小题满分14分）

已知点G是ΔABC的重心，A（0，－1），B（0，1），在x轴上有一点M，满足，

（1）求点C的轨迹方程；

（2）若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P，Q，且满足，试求k的取值范围。

2006年2月济南市高三统一考试

数学（理工类）参考答案及评分标准

一、

　1. B　　　　　　2. C　　　　　　　 3. C　　　　　　　 4. D　　　　　　　 5. B　　　　　　　 6. C

　7. C　　　　　　8. B　　　　　　　 9. D　　　　　　　 10. D　　　　　　 11. A　　　　　　　12. C

二、

　13. ①　　②　　　　　 14. 9　　　　　　　15. 4　　　　　　　16.

三、

　17. 解：（1）由条件得：

∴a、b、c成等差数列　　　　　　　 ……6′

（2）

　　　　　　　 

　　　　　　　  　　　　　　　　 ……10′

　　　　　　　　　　　……12′

　18. 解：

（1）甲、乙两口袋中各取1球交换后，甲口袋恰有2个白球有二种情况：……1′

①都交换的是白球，则　　　　　 ……4′

②都交换的是黑球，则　　　　 ……7′

　　　　……8′

（2）设甲口袋内白球数，则的分布列：

　　　　　 ……12′

　19. 解：（1）取AD的中点O，连接PO

∵ΔPAD是正三角形　　　　　∴PO⊥AD

又面PAD⊥面ABCD　　　　　 ∴PO⊥面ABCD　　　　　　　　 ……1′

以O为原点，过O作AB平行线为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，连OC，则∠PCO为PC与面ABCD所成角，∴∠PCO＝30°　　　　　 ……2′

设AD＝a，则

　　　　　　　……3′

　　　　　……4′

设平面PCE的法向量

则

　　　　　6′

又面DEC的法向量为

∴二面角P—CE—D为45°　　　　　　 8′

（2）D（0，，0），则

∴D到面PCE的距离　　　　　　　12′

　20. （1）解：　　　　 2′

由，解得　　　　　4′

（2）设的判别式为Δ，当Δ<0时，

此时

　　　　　　　　　　 ……5′

当时，由

得　　　　……6′

解得

综上可得　　　　　　　　……7′

①要使p真q假，则　　　　　　　 8′

②要使p假q真，则　　　　　　 ……10′

∴当a的取值范围为时

命题p、q中有且只有一个为真命题　　　　 ……12′

　21. 解：（1），得

　　　　 ……1′

同理　　　　……2′

又

　　　　 ……3′

　　　　 ……5′

为以1为首项，公比为的等比数列　　　　　……6′

（2）　　　　　　 ……7′

是以1为首项，公差为的等差数列　　　　　……8′

　　　　　　 ……9′

（3）由知和是以1和为首项，公差为的等差数列

……10′

　　　　　　　 ……12′

　22. （1）设C（x，y），则

　　　　　　　……1′

又M是x轴上一点，则　　　　　 ……2′

又

整理得，即为曲线C的方程　　　　　 ……4′

（2）①当时，l和椭圆C有不同两交点P、Q

根据椭圆对称性有　　　　　　　 ……′

②当时，可设l的方程为

联立方程组

消去y，整理得

∵直线l和椭圆C交于不同两点

即

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）

则x₁，x₂是方程（*）的两相异实根

　　　　　　……8′

则PQ的中点N（x₀，y₀）的坐标是

即　　　　 ……10′

又

，将代入（**）得　　　　　　 ……11′

即　　　　　　……13′

综合①②得，k的取值范围是　　　　　　 ……14′