山东省实验中学2006年2月高三统一考试数学试卷（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分；共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知
，若
，则实数a的取值范围是（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. 若a，b均为非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 即不充分也不必要条件
3. 有8个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，现任取两个球，则两个球的序号不相邻的概率是（ ）
A. 
B.
C.
D.
4. 设
，则有（ ）
A. 
B.
C.
D.
5. 把函数
的图象按向量a平移，得到函数
的图象，则a等于（ ）
A. （-3，-4） B.（3，4） C. （-3，4） D. （3，-4）
6. 已知函数
的反函数是
，若
，则ab的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
7. 下列命题中真命题的个数有：
（1）若
，那么
；
（2）已知
都是正数，并且
，则
；
（3）若
，则
；
（4）
的最大值是
。
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
8. P、A、B、C是球O面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且
，则球的体积为（ ）
A. 
B.
C.
D.
9. 已知二项式
的展开式中含
的项是第4项，则n的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则该双曲线的准线方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
11. 在△ABC中，B（-2，0），C（2，0），A（x，y）。若△ABC满足的条件分别为①周长为10；②∠A＝90°；③
；则A的轨迹方程分别是a：
；b：
；c：
则正确的配对关系是（ ）
A. ①a②b③c B. ①b②a③c C. ①c②a③b D. ①b②c③a
12. 设
，常数a>0，定义运算“*”：
，若
，则动点
的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题。每小题4分；共16分。把答案填在题中横线上。
13. 若工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现用分层抽样法抽出一个容量为n的样本，样本中B型号产品有28件，那么样本的容量n＝__________。
14. 抛物线
与直线
交于两点A、B，设抛物线的焦点为F，则
等于___________。
15. 已知，直线a、b、c和平面α、β，给出下列命题：
①若a、b与α成等角，则a//b；
②若α//β，c⊥α，则c⊥β；
③若a⊥b，a⊥α，则b//α；
④若α⊥β，a//α，则a⊥β
其中错误命题的序号是________________。
16. 用类比推理的方法填表
| 等差数列 | 等比数列 |
|
|
|
|
|
|
|
|
中
三、解答题：本大题共6小题。共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知函数
在
和
处取得极值，
（1）确定函数
的解析式；
（2）求函数的单调区间。
18. （本小题满分12分）
已知函数
的图象在y轴右侧的第一个最高点（函数取最大值的点）为P（
，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为H（
，0）。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间［
］上的对称轴方程。
19. （本小题满分12分）
某人抛掷一枚质量分布均匀的骰子，出现各数的概率都是
，构造数列
，使
，记
（1）求
时的概率；
（2）求
时的概率；
（3）若前两次均为奇数，求
时的概率。
20. （本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC
中，
，∠ACB＝90°，M是
的中点，N是
的中点。
（1）求证：MN//平面
；
（2）求点
到平面MBC的距离；
（3）求二面角
的大小。
21. （本小题满分12分）
已知一列非零向量
满足：
，
（1）证明：
是等比数列；
（2）设
，求
。
22. （本小题满分14分）
已知
是椭圆
的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足
（0是坐标原点），
。若椭圆的离心率等于
。
（1）求直线AB的方程。
（2）若三角形
的面积等于
，求椭圆的方程；
（3）证明：在（2）的条件下，椭圆上不存在点M，使得三角形MAB的面积等于
。
高三数学（文史类）模拟试题参考答案及评分标准
一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. A
6. D 7. B 8. D 9. C 10. D
11. B 12. D
二、13. 98 14. 7
15. ①③④ 16.
三、17. 解：（1）
2分
又
在和处取得极值
4分
6分
（2）由
若
则
或
8分
若
则
9分
∴函数的单调减区间为［-2，
］ 10分
函数的单调增区间为
和
12分
18. 解：（1）易知
2分
4分
将点P（
）代入
，
即
，易得
7分
故所求解析式为
8分
（2）由
得
9分
令
11分
故所求对称轴为
12分
19. 解：（1）即求第4次掷出偶数的概率
4分
（2）若即在4次抛掷中，有一次奇数，3次偶数 6分
∴概率为：
8分
（3）若前2次为奇数，且，则应满足：在后5次抛掷中有3次掷偶数，2次掷奇数 10分
∴概率
12分
20. 解法一：
（1）证明：取
的中点D，连结ND、A1D、NM
可知DN//BB1//AA1 1分
∵N是BC1的中点
2分
∴四边形A1MND为平行四边形
∴MN//A1D 3分
又MN
平面，A1D
平面
∴MN//平面 4分
（2）解：∵三棱柱
是直三棱柱
又
5分
∴BC⊥平面A1MC1 6分
在平面
中，作
于H，又
面
为C1到平面MBC的距离 7分
由题意
∴△CMC1为正三角形
即C1到平面BMC的距离为
8分
（3）在平面上作
，交
于点E，连结BE
则CE为BE在平面上的射影
∴BE⊥C1M 9分
作
交
于F，则
为二面角的平面角 10分
在等边△CMC1中，
11分
∴二面角的大小为
12分
解法二：
（1）证明：如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，
所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，取中点D 1分
由已知，得
，
，
，
2分
3分
又
平面，
平面
∴MN//平面 4分
（2）B（，0，0），C（0，0，0），
，
5分
设垂直于平面BCM的向量
则
6分
7分
到平面BMC的距离
8分
（3）三棱柱为直三棱柱
又∠ACB＝90°
平面
9分
设垂直于平面
的向量
，
10分
11分
∴二面角的度数为 12分
21. 解：（1）
1分
3分
，且
4分
是公比为的等比数列 5分
（2）
6分
8分
9分
10分
即
12分
22. （1）由知，直线AB经过原点，又由
知
，因为椭圆的离心率等于，所以
，故椭圆方程为
1分
设A（x，y），由，知x=c 2分
∴A（c，y），代入椭圆方程得
，故直线AB的斜率
3分
因此直线AB的方程为
4分
（2）连结
，由椭圆的对称性可知
，所以
6分
又由
解得
7分
故椭圆方程为
8分
（3）由（2）可以求得
9分
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于
设点M到直线AB的距离为d，则应有
10分
∴d＝4 11分
设点P（
）为椭圆上任意一点
则P到直线
的距离为
故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于 14分