立体几何
复习易做易错题选
一、选择题：
1．（石庄中学）设ABCD是空间四边形，E，F分别是AB，CD的中点，则
满足（ ）
A 共线 B 共面 C 不共面 D 可作为空间基向量
正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
2．（石庄中学）在正方体ABCD-A
BCD,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，则直线OM( )
A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN
C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直
正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。
3．（石庄中学）已知平面
∥平面
，直线L
平面,点P
直线L,平面、间的距离为8，则在内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（ ）
A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点
正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。
4．（石庄中学）正方体ABCD-ABCD中，点P在侧面BCCB及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD,则动点P的轨迹（ ）
A 线段BC
B BB的中点与CC中点连成的线段
C 线段BC
D CB中点与BC中点连成的线段
正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。
5． （石庄中学）下列命题中：
① 若向量
、
与空间任意向量不能构成基底，则∥ 。
② 若∥， ∥
，则∥ .
③ 若 
、
、
是空间一个基底，且 
=
＋ ＋ ,则A、B、C、D四点共面。
④ 若向量 + ， + ， + 是空间一个基底，则 、 、 也是空间的一个基底。其中正确的命题有（ ）个。
A 1 B
正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。
6．(磨中)给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )
正确答案：①
错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清
7．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )
A、7 B、
正确答案：A
错误原因：4+8—2=10
8．(磨中)下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
 | |||||
 | |||||
 | |||||
正确答案：D
错误原因：空间观点不强
9．(磨中)a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( )
A、有且只有一个 B、一个面或无数个
C、可能不存在 D、可能有无数个
正确答案：C
错误原因：过a与b垂直的夹平面条件不清
10．（一中）给出下列四个命题：
（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数F满足的关系式为
（3）若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β.
（4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定.
其中，正确的命题是 （ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）
正确答案：A
11．（一中）如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）
A．75° B．60° C．50° D．45°
正确答案：C
12．（蒲中）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）
A、α+β<900 B、α+β≤
答案：B
点评：易误选A，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。
13．（蒲中）在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
答案：B
点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。
14．（蒲中）△ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B-AD-C，若
，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形
答案：C
点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。
15．（江安中学）设a，b，c表示三条直线，
表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（
）。
A.
，若
，则
B.
，
，若
，则
C.
，若
，则
D.
，
是在
内的射影，若
，则
正解：C
C的逆命题是,若，则
显然不成立。
误解：选B。源于对C是在内的射影理不清。
16．（江安中学）和是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面和平行的是（
）。
A.
和都垂直于平面
B.
内不共线的三点到的距离相等
C.
是平面内的直线且
D.
是两条异面直线且
正解：D
对于
可平行也可相交；对于B三个点可在平面同侧或异侧；对于
在平面内可平行，可相交。
对于D正确证明如下：过直线分别作平面与平面相交，设交线分别为
与
，由已知
得
，从而
，则
，同理
，
。
误解：B
往往只考虑距离相等，不考虑两侧。
17．（江安中学）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）
A.
B.
C.
D.
正解：D。
当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多
最多可盛原来水得1－
误解：A、B、C。由过D或E作面ABC得平行面，所截体计算而得。
18．（江安中学）球的半径是R，距球心4R处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。
A.
B.
C.
D. 
正解：B。
如图，在
中，
于
则
即
又
以
为半径的圆的面积为
误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。
19．（江安中学）
|
|
已知AB是异面直线的公垂线段，AB=2，且
与
成
角，在直线上取AP=4，则点P到直线的距离是（
）。
E.
|
F. 4
G.
|
H.
或
正解：A。过B作BB’∥，在BB’上截取BP’=AP，连结PP’，过P’作P’Q
连结PQ，PP’由BB’和所确定的平面，PP’
PQ即为所求。在Rt
PQP’中，PP’=AB=2,P’Q=BP’,
=AP
=2, PQ=
。
误解：D。认为点P可以在点A的两侧。本题应是由图解题。
20．（丁中）若平面
外的直线
与平面所成的角为
，则的取值范围是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
错解：C
错因：直线在平面外应包括直线与平面平行的情况，此时直线与平面所成的角为0
正解：D
21．（薛中）如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a , b都相交；（2）过P一定可作直线L与a , b都垂直；（3）过P一定可作平面与a , b都平行；（4）过P一定可作直线L与a , b都平行，其中正确的结论有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
答案：B
错解：C 认为（1）（3）对
D 认为（1）（2）（3）对
错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。
22．（薛中）空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ）
A、1对 B、2对 C、3对 D、4对
答案：C
错解：D
错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。
23．（案中）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是
A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥
正确答案：（D）
错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D
24．（案中）给出下列四个命题：
（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
（2）
若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V，面数F满足的关系式为
（3） 若直线L⊥平面α，L∥平面β，则α⊥β
（4） 命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正确的命题是 （ ）
A、（2）（3） B、（1）（4） C、（1）（2）（3） D、（2）（3）（4）
正确答案：（A）
错误原因：易认为命题（1）正确
二填空题：
1. （如中）有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.
错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为
。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为
，所以正确答案为：
。
2.
（如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率为
，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。
错解：答
。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：
。
3.
（如中）已知正三棱柱
底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成
角的截面面积是___________________。
错解：
。学生用面积射影公式求解：
。错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：
。
4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。
正确答案是不能确定。
5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平面。
正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。
6. （如中）平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.
错解为：
。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：
。
7. （如中）点AB到平面距离距离分别为12，20，若斜线AB与成
的角，则AB的长等于_____.
错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。
8. （如中）判断若a,b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行。
错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。
9．(磨中)与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个。
正确答案：7个
错误原因：不会分类讨论
10．(磨中)在棱长为1的正方体ABCD——A1B
正确答案： 
错误原因：不会找射影图形
11．(磨中)△ABC是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_________。
正确答案：50°
错误原因：不会作图
12．(磨中)平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为的椭圆，则角θ等于_______。
正确答案：30°
错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。
13．(磨中)把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。
正确答案：(
)r
错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上
14．（一中）AB垂直于
所在的平面，
，当的面积最大时，点A到直线CD的距离为 。正确答案：
15．（蒲中）在平面角为600的二面角
内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=
答案：
cm
点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。
16．（蒲中）已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________
答案：600
点评：以PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用cos2450+cos2600+cos2α=1得α=600，构造模型问题能力弱。
17．（蒲中）正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件的一个截面____________
答案：面AD
点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD
18．（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。
正解：
。
设
为二面角的平面角，
误解：折叠后仍然
判断不了，找不到
的长求不出。
19．（江安中学）某地球仪上北纬，纬线的长度为
，该地球仪的半径是_____cm，表面积是_____ cm2。
正解：
设地球仪的半径为R，纬线的半径为r 。
由已知
，
。
误解：误将
20．（江安中学）自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则
=_____。
正解:
,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。
误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。
21．（丁中）直二面角α－
－β的棱上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与成450，AB
，则∠BAC=
。
错解：600
错因：画图时只考虑一种情况
正解：600或1200
22．（丁中）直线与平面α成角为300，
则m与所成角的取值范围是
错解：[ 300 , 1200]
错因：忽视两条直线所成的角范围是
正解：[ 300 , 900]
23．（丁中）若
的中点
到平面的距离为
，点
到平面的距离为
，则点
到平面的距离为_________
。
错解：2
错因：没有注意到点A、B在平面异侧的情况。
正解：2、14
24．（薛中）已知直线L∩平面=O，A、B∈L，
= 4 ，
；点A到平面距离为1，则点B到平面的距离为
。
答案：1或3
错解：3
错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点O的同侧，也可能在O点两侧。
25．（薛中）异面直线a , b所成的角为
，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为，这样的直线L有
条。
答案：三条
错解：一条
错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作
确定一平面，画
相交所成角的平分线m、g，过m, g分别作平面的垂面
，则在中易找到所求直线共有3条。
26．（薛中）点P是ABC所在平面外一点，且P在ABC三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是ABC的
心。
答案：内心或旁心
错解：内心
错因：P在平面ABC内的正射影可能在ABC内部，也可能在ABC外部。
27．（案中）四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。
正确答案：（0，
错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。
28．（案中）在棱长为1的正方体ABCD-A1B
正确答案：
错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。
29．（案中）点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是
正确答案：
错误原因：找不到解题思路
三、解答题：
1. （如中）由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为⊿ABC的外心，求证：
。
错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以
POA＝POB＝POC＝RT，所以。
错解分析：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。
正解：取BC的中点D，连PD，OD，
2. （如中）一个棱长为
错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。
错误原因是空间想像力不够。
正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：
，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个
的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为
。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：
。
3．（石庄中学）如图，在长方体ABCD-A1B
；
(2) 直线AD与平面ANM所成的角的大小；
(3) 平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小.
解：(1) 以A为原点，AB、AD、AA1所在直线 为x轴，y轴，z轴.
则D(0,8,0)，A1 (0，0，4)，M(5,2,4)
) 
∵
∴
(2)
由(1)知A1D⊥AM，又由已知A1D⊥AN，
平面AMN，垂足为N.
因此AD与平面所成的角即是
易知
(3) ∵
平面ABCD，A1N
平面AMN，
∴
分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则
4．（一中）点
是边长为4的正方形
的中心，点
，
分别是
，
的中点．沿对角线
把正方形折成直二面角D－AC－B．
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
解法一：（Ⅰ）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则
，
．
 | |||
 | |||
因为二面角D－AC－B为直二面角，
又在
中，
，
．
．
（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．
∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．
∴
就是二面角的平面角．
在RtEGM中，
，
，
，
∴
．∴
．
所以，二面角的大小为
．
解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，
则
，
．
．
．
（Ⅱ）设平面OEF的法向量为
．
由
得
解得
．
所以，
．
又因为平面AOF的法向量为
，
．∴
．
所以，二面角的大小为
．
5．（蒲中）斜三棱柱ABC—A1B
解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公用边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=
a，∴BMC周长为2xa+a=(1+
)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab
点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A
∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证。
6．（江安中学）如图在三棱柱ABC-
中，已知底面ABC是底角等于，底边AC=
的等腰三角形，且
，面
与面ABC成
，
与
交于点E。
1)
求证：
；
2)
求异面直线AC与
的距离；
3)
求三棱锥
的体积。
正解：①证：取AC中点D，连ED，
//
又
是底角等于的等腰，
②解：由①知
在
是异面直线AC与的距离，为
③连
误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。
7．（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A1B
，设这条最短路线与C
4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
5) PC和NC的长；
6)
平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
正解：①正三棱柱ABC-A1B
②如图1，将侧面BC1旋转
使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。
设PC＝
，则P，
在
③连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH
于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，
。
误解：①不会找 的线段在哪里。
②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。
③不会找二面角的平面角。