培优练习（3）
一、选择题
1、设A、B两点的坐标分别为(－1,0),(1,0)，条件甲：
； 条件乙：点C的坐标是方程 + = 1 (y¹0)的解. 则甲是乙的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
2、长为2的线段PO⊥平面α，O为垂足，A、B是平面α内两动点，若tan∠PAO= 
，
tan∠PBO=2,则P点到直线AB的距离的最大值是
（ ） A．2
cm B．
cm C．cm D．
cm
3、三个数
成等比数列，若有
成立，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4、在某次数学测验中，学号
的四位同学的考试成绩
，
且满足
，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为
（ ）
A．9种 B．5种 C．23种 D．15种
二、填空题
5、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。若a=1，∠B= 45°，△ABC的面积S=2，那么△ABC的外接圆的直径等于 .
6、已知复数
满足：
，则
__________.
7、设m、n都是不大于6的自然数，则方程
表示的双曲线的个数是 .
8、以下命题：
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
②过点（x0,y0）与圆
相切的直线方程是
；
③平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
④抛物线上任意一点M到焦点的距离都等于点M到其准线的距离.
其中正确命题的标号是 .
三、解答题
9、（本小题满分12分）
在实数范围内解不等式：
。并利用解此题的方法证明：
有唯一解。
10、（本小题满分12分）
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱是底面边长的2倍，P是侧棱CC1上的任一点.
（1）求证：不论P在侧棱CC1上何位置，总有BD⊥AP；
（2）若CC1=3C1P，求平面AB1P与平面ABCD所成二面角的余弦值；
（3）当P点在侧棱CC1上何处时，AP在平面B1AC上的射影是∠B1AC的平分线.
|
11、（本小题满分14分）
P为椭圆c：
上除
，
的两点外的一点。
（Ⅰ）求直线
P与
的斜率的乘积；
（Ⅱ）设P（x，y），求证：
；
（Ⅲ）设
，求证：
。
12、（本小题满分12分）
设数列
是等比数列，
，公比q是
的展开式中的第二项
（按x的降幂排列）.
（1）用n，x表示通项an与前n项和Sn；
（2）若
，用n，x表示An.
13、（本小题满分12分）
已知点H（－6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（2）过点T（－2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点
，
使得△AEB是以点E为直角顶点的直角三角形，求直线l的斜率k的取值范围.
14、（本小题满分14分）
对于函数
，若存在实数
，使
成立，则称为
的不动点.
（1）当a=2，b=－2时，求的不动点；
（2）若对于任何实数b，函数恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若
的图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，
且直线
是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围.
参考答案
一、选择题 BCDD
二、填空题 5、5 6、 7、16 8、④
三、解答题
9、解：（1）由
得
,显然
是减函数，又当
时, 
即
;当
时, 
；不等式的解集为
.
（2）由方程
得, 
，显然函数
是减函数，又当
时，，当
时, 
,当
时, 
，方程有唯一解.
10、解（1）由题意可知，不论P点在棱CC1上的任何位置，AP在底面ABCD内射影都是AC， 
， 
（2）延长B1P和BC，设B1P∩BC=M，连结AM，则AM=平面AB1P∩平面ABCD. 过B作BQ⊥AM于Q，连结B1Q，由于BQ是B1；Q在底面ABCD内的射影，所以B1Q⊥AM，
故∠B1QB就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B1C1，从而BM=3BC.
所以
. 在
|
中，
，
得
为所求.
（3）设CP=a，BC=m，则BB1=2m，C1P=2m－a，从而
在
依题意，得
. 
.
.
即
故P距C点的距离是侧棱的
另解：如图，建立空间直角坐标系.
设
依题意，得
即
故P距C点的距离是侧棱的
11、（Ⅰ）解：设点P（x，y），则有
，………………………………………………2分
由
变形为
……………………4分
∴
。即
。 ……………………………………5分
（Ⅱ）证明：（1）当点P在x轴的上方时，y>0。
，
。 …………7分
（2）当点P在x轴的下方时，y<0，同理可得
。
∴
是钝角，
…………………………10分
（Ⅲ）证明：由三角形的面积公式得
。………………12分
。
∴
。
得
∴
。 ……………………………………………………14分
12、解（1）
由
（2）当x=1时，Sn=n， 
又
当
13、解（1）设点M的坐标为
由
由点Q在x轴的正半轴上，得
.
所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点.
（2）设直线
设
的两个实数根，由韦达定理得
，
所以，线段AB的中点坐标为
而
轴上存在一点E，使△AEB为以点E为直角顶点的直角三角形，
∴点F到x轴的距离不大于
所以 
化简得
，解之得
，结合（*）得
又因为直线
的斜率
所以
，显然
故所求直线的斜率k的取值范围为
14、解
（1）当a=2，b=－2时， 
设x为其不动点，即
则
的不动点是－1，2.
（2）由
得：
. 由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即
即
对任意
恒成立.
（3）设
，
直线是线段AB的垂直平分线， 
记AB的中点
由（2）知
化简得：
时，等号成立）.
即
∴ b Î [－,0 ) .