江苏省赣榆高级中学2006届高三数学模拟试卷
2006-4-8
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．lg8+3lg5的值为 ( )
A．－3 B． －1 C．1 D．3
2．已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：
①若
②若
③若
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在
中，角
的对边分别是
，且
，则
等于(
)
A．
B．
C．
D．
4．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为 ( )
A．
B．
C．4
D．－4
5．长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm，若该长方体的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为 ( )
A．7
B．14 C．28 D．56
6．在坐标平面上，不等式组
所表示的平面区域的面积为
( )
A．
B．
C．
D．
7．若函数
同时具有以下两个性质：①是偶函数，②对任意实数x，都有f(
)= f(
)，则的解析式可以是
( )
A．=cosx B．=cos(2x
) C．=sin(4x) D．=cos6x
8．已知双曲线
－
＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为
（O为原点），则两条渐近线的夹角为
( )
A．30º B．45º C．60º D．90º
9．有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为 ( )
A． 168 B．84 C．56 D．42
10.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)=0,则下列结论中错误的是 ( )
A．P(3)=3 B．P(5)=1 C．P (2007)>P(2006) D．P(2003)<P(2006)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在相应位置.
11．函数
的单调递减区间为
．
12．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．
13．若不等式
的解集是空集，则实数a的取值范围是
．
14．如果直线l将圆
平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是_____ ___.
15．正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的
倍，则侧面与底面所成锐二面角
等于 ．
16．某四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发出录取通知书。若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学的概率为____________.
三、解答题：本大小题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知0＜x＜
，函数
（Ⅰ）求函数f(x)的递增区间和递减区间；
（Ⅱ）若
，求
的值。
18．(本小题满分12分)
如图正方体在ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，B1C1，AA1的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面GBD；
（Ⅱ）求异面直线AD1与EF所成的角 ．
19．(本小题满分14分)
（Ⅰ）已知
是正常数，
．求证：
，指出等号成立的条件．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数
，的最小值，指出取最小值时
的值．
20．（本题满分16分）
（Ⅰ）已知平面上两定点
、
的距离为4，点
满足
，求点的轨迹方程；
（Ⅱ）若把(1)的的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线
相切，试求实数
的值；
（Ⅲ）如图，
是经过椭圆
长轴顶点且与长轴垂直的直线，
是两个焦点，点
，
不与重合。若
，则有
，类比此结论到双曲线
，是经过焦点
且与实轴垂直的直线，
是两个顶点，点，不与重合。若
，试求角
的取值范围。
 |
21．（本题满分16分）
过点
作曲线
的切线,切点为
，设在轴上的投影为
，又过作曲线
的切线,切点为
，设在轴上的投影为
；……；依次下去，得到一系列点
，设
的横坐标是
，
（Ⅰ）证明
为等比数列，并求；
（Ⅱ）证明
；
（Ⅲ）证明
。
参考答案：1-10：DCABB BCDDD
11．（0，1）；
12．60； 13．
； 14．[0，2]； 15．
； 16．
；
17．解：
（Ⅰ）f(x)的递增区间是（0，
），递减区间是[，
；
（Ⅱ）
。
18． (1)取BC的中点H，连EH，易得EH是EF在平面AC上的射影，
∵BD⊥EH，∴由三垂线定理，得 EF⊥BD； (4分)
又∵EF在平面AB1上的射影是B1E，由△BB1E∽△ABG，得B1E⊥BG，
∴由三垂线定理，得 EF⊥BG，
∵BG∩BD=B，∵EF⊥平面GBD． (6分)
(2)取C1D1的中点M，连EM，易得EM∥AD1，
所以∠EFM就是异面直线AD1与EF所成的角， (9分)
∵MF∥BD，∴EF⊥MF
在Rt△EFM中，由EM=
，(a为正方体的棱长)，EF=
，得
∠EFM=30º．即异面直线AD1与EF所成的角为30º． (12分)
19．⑴∵
、
，、
，
∴
≥
∴
≥
等号成立的条件是
⑵当
时，
，
，
，
当
，即
时，
取得最小值25．
20．（1）以
中点
为原点，所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，则
。
设
，由
得
，此即点的轨迹方程.
（2）将向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆
，
依题意有
。
（3）不妨设点
在
的上方，并设
，则
，
所以
，由于
且
，故
。
21．解：（1）为了求切线的斜率，只要对
求导数，得
。若切点是
，则切线方程是
。
时，切线过点，即
，得
，
时，切线过点
，即
，得
，
所以数列是首项为
。公比为的等比数列。
。
（2）二项式定理得
=
。
（3）记
，则
两式错位相减，得
