洪泽县中学2006届高三周练
数学试卷
一. 选择题:(题共12小题, 每小题5分，共60分)
1. 已知集合
,则必有
( )
A. 
B.
C.
D.
2. 不等式
的解集是
( )
A. 
B.
C. 
D. 
3. 函数
的最小正周期是 ( )
A. 
B.
C. 2
D. 4
4. 若
, 
, 且 a∥b, 则x的值为 ( )
A. 
B
. 
C. －6
D. 6
5. 下列函数中, 在区间
上为减函数的是
( )
A. 
B.
C. 
D. 
6. 如果
则
的最小值是 ( )
A. 2
B. 
C.
D. 
7. 若一等数列的前7项的和为48, 前14项的和为72, 则它的前21项的和为 ( )
A. 96 B. 72 C. 60 D. 48
8. 两位同学一起去一家单位应聘, 面试前单位负责人对他们说:“我们要从面试的人中招聘3人,你们俩同时被招聘进来的概率是
”.根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为 ( )
A. 21 B. 35 C. 42 D. 70
9. 设l1、 l2为直线,
为平面.下面四个命题中, 正确的是
(
)
C. l1、l2与所成的角相等
l1∥l2
10. 离心率为黄金比
的椭圆称为“优美椭圆”. 设
是优美椭圆, F、A分别是它的左焦点和右顶点, B是它的短轴的一个端点, 则
等于
( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
11. 设函数
图象的一条对称轴方程为
, 则直线
的倾斜角为
( )
A. 
B. 
C. 
D.
12. 设函数
. 若函数
的图象与
的图象关于直线
对称,则
的值为
( )
A. 
B. 
C. 3
D. 5
二. 填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分)
13. 在
的展开式中, 第4项是常数项, 则n＝ .
14. 过点
且在坐标轴上截距相等的直线方程为
.
15. 若曲线
在点P处的切线平行于直线
, 则点P的坐标为
.
16．圆x2＋y2＝2上到直线x－y－4＝0距离最近的点的坐标是_________．
17. 将容量为100的样本数据按从小到大的顺序分成8个组，如下表：
|
则第六组的频率为 .
18. 半球内有一内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内. 若正方体的棱长为
, 则半球
的体积为 .
三. 解答题：(本大题6小题，共74分)
19. (本题12分) 已知向量
, 
.
(1) 当
时, 求
的值; (2) 求函数
的值域.
解: 
…… (3分)
(1)
∴
……(4分) 又
∴
……(7分)
(2)
……(8分)
……(10分)
∴
.……(12分)
20.（本题12分）已知: 如图, 长方体AC1中, 棱AB＝BC＝3, 棱BB1＝4, 连结B1C, 过点B作B1C的垂线交CC1于点E, 交B1C于点F.
(1) 求证: A1C
平面EBD;
(2) 求点A到平面A1B1C的距离;
(3) 求ED与平面A1B1C所成角的大小.
解: (1)连结AC.在长方体AC1中, A1C在底面ABCD上的射影为AC, AC⊥BD,
∴AC1⊥BD. ……(2分)
在长方体AC1中, A1C在平面BB1C1C上的射影为B1C,B1C⊥BE, ∴A1C⊥BE. ……(3分)
又BD
BE＝B, ∴A1C⊥平面EBD. ……(4分)
(2) ∵BF⊥B1C, BF⊥AB1, B1CA1B1＝B1,
∴BF⊥平面A1B1C1, ……(5分)
又∵A1B1∥AB, A1B1
平面A1B1C,AB
平面A1B1C,
∴AB∥平面A1B1C, 点A到平面A1B1C的距离即为点
B到平面A1B1C距离, 也就是BF. ……(7分)
在△B1BC中, 易知
,
点A到平面A1B1C的距离为
.……(8分)
(3)连结A1D、FD. 由(2)知BE⊥平面A1B1C,
即BE⊥平面A1B1CD,
∴∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角. ……(9分)
矩形B1BCC1中, 易求得B1F＝
, CF＝
, EF＝
EC＝
又在Rt△CDE中, 
,……(11分)
即ED与平面A1B1C所成角为
.……(12分)
21.(本题满分12分)已知正方形ABCD的外接圆方程为 x2+y2－24x+a=0 (a<144)，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3,1)，
（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；
（2）若顶点在原点焦点在x轴的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程。
(3) 设点N(1,2),过点(5,－2)的直线与抛物线E交于另外两点S、T.试判断三角形的形状？(锐角、钝角或直角三角形)并证明之.
解(1)由
可知圆心M的坐标为(12，0)，
依题意： 
, 
,
MA、 MB的斜率k满足：
,解得：
（2分）
∴所求AC方程为：x+2y－12=0 BD方程为：2x－y－24=0 ……………(4分)
(2) 设MB、 MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝
，
设圆半径为r,则
，
…………(6分)
再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0)，由于A， B两点在抛物线上，
得抛物线方程为y2＝4x. ……………(8分)
(3)【证明】设T(t2,2t)、S(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1,则直线ST的方程为
化简得2x－(s＋t)y＋2st=0.由于直线ST过点(5－2),故2×5－(s＋t)(－2)＋2st=0,
即(s＋1)(t＋1)=－4. ……………(10分)
因此
所以∠TNS=90°.从而△NTS是直角三角形. …………… (12分)
22.（12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船
方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算．
解析：（1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列．
设纯收入与年数n的关系为f（n），则
…
．
由题知获利即为f（n）＞0，由
，得
．
∴ 2.1＜n＜17.1.而n
N，故n＝3，4，5，…，17．∴ 当n＝3时，即第3年开始获利．
（2）方案一：年平均收入
．
由于
，当且仅当n＝7时取“＝”号．
∴ 
（万元）．
即第7年平均收益最大，总收益为12×7＋26＝110（万元）．
方案二：f（n）＝
＋40n-98＝-2
＋102．
当n＝10时，f（n）取最大值102，总收益为102＋8＝110（万元）．
比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n＝7，故选方案一．
(23) （本小题满分14分）已知函数
在区间[n，m]上为减函数，记m的最大值为m0，n的最小值为n 0，且有m0- n 0=4．
（1）求m0，n 0的值以及函数
的解析式；
（2）已知等差数列{xn}的首项
，公差
．又过点
的直线方程为
试问：在数列{xn}中，哪些项满足
？
（3）若对任意
，都有
成立，求a的最小值．
解（1）
由题意可知
为方程
的两根
其中
解得
（2）由（1）得A（0，5），B（1，-6），
6/
又由题得
可解得
或
当或
时，满足题意 （3）
由题意，
恒成立，即
恒成立
要使恒成立，只要
成立，即只要
成立
的最小值为1
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | B | C | D | D | C | D | A | D | C | A | A |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. 18 ; 14. 
; 15. 
;
16（1，—1） 17.0.15 18. 
.