湖南省示范性高中2006届高三八校第二次联考
文科数学试题(II)
命题: 株州市二中 岳阳市一中 常德市一中 雅礼中学
湘潭市一中 郴州市一中 邵阳市二中 衡阳市一中
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A·B）=P（A）·P（B） 母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
第I卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
１．设
Ａ．[2，4] Ｂ．
Ｃ．[－2，4] Ｄ．
２．已知
，则
Ａ．在区间(-1,+∞)上是增函数 Ｂ．在区间(-∞,1) 上是增函数
Ｃ．在区间(-1,+∞)上是减函数 Ｄ．在区间(-∞,1) 上是减函数
３．某单位有职工160人，其中有业务人员120人，管理人员16人，后勤人员24人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若要用分层抽样的方法抽取的业 务人员、管理人员、后勤人员的人数分别为
Ａ．7、6、7 Ｂ．15、2、3 Ｃ．10、6、4 Ｄ．17、1、2
４．已知
，则
的值为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．4 Ｄ．8
５．对于
的一切值，
恒成立的
Ａ．充要条件 Ｂ．充分不必要条件
Ｃ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
６．过点M(-2，0)的直线m与椭圆交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(
)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为
Ａ．2 Ｂ．－2 Ｃ．
Ｄ．－
７．在北纬45°的纬线圈上有A、B两地，A在东经1100，B在西经1600，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是
Ａ．
R Ｂ．
R Ｃ．
R Ｄ．πR
８．已知直线
与圆
交于
两点，且
，其中
为原点，则实数
的值为
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．或 Ｄ．
或
９．某医药研究所研制了5种消炎药X1、X2、X3、X4、X5和4种退烧药T1、T2、T3、T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，但又知X1、X2两种消炎药必须同时搭配使用，但X3和T4两种药不能同时使用，则不同的试验方案有
Ａ．16 Ｂ．15 Ｃ．14 Ｄ．13
10．函数
的定义域为
，若满足1在内是单调函数；2存在
，使得在
上的值域为，则
叫做闭函数．现在
是闭函数，则
的取值范围是
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上．
11．
的展开式的第4项是 ．
12．数列
中,
是其前
项和，若
，则
＝ ．
13．在四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA=4，Q是PA的中点，则点P到平面BQD的距离为 ．
14．实数
满足
则
的最小值是
．
15．已知函数
，则
的图象的交点个数为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
．
（１）当
时，求的值域；
（２）将的图象按向量
平移，使得平移后的图象关于原点对
称，求出向量
．
17．某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.
（１）两人都抽到足球票的概率是多少？
（２）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少 ？
18．（本小题满分14分）
如图，直平行六面体
的底面
是边长为
的菱形，
，E为
的中点，二面角
为
．
（１）求证：面
；
（２）求二面角
的余弦值．
19．已知正项数列{an}满足：
，且
,
（１）求数列{an}的通项公式；
（２）求证：
．
20．已知双曲线C：
的右准线L经过抛物线E：y2=2PX(P>0)的焦点F,且L与E
在X轴上方交于M,双曲线C的右焦点为F2，若△MFF2为等腰直角三角形.
（１）求双曲线C的离心率e；
（２）若双曲线C与抛物线E在X轴上方交于N，且
=4(
)，求C与E的方程；
（３）求直线NF与MF2交点的轨迹方程.
21．已知f(x)=
（１）当a=0，b=-3时，求与直线4x+15y-3=0垂直的曲线y=f（x）的切线方程；
（２）若存在实数b使曲线y=f(x)在x∈ [1，4]上存在斜率为-8的切线且切点在直线y=1的上方，求a的取值范围．
文科参考答案
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | D | C | D | C | D | B | C | C | D |
| 题号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |||||
| 答案 |
|
| |
| 4 | |||||
16解：（１）化简函数得
， 由已知有
，………6分
所以，的值域为
．
…………7分
（２）由图象变换得
．
…………9分
而平移后的图象关于原点对称，所以
且
， …………11分
而
，所以
，即
．
…………12分
17解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，则
“甲从第一小组的10张票
任抽1张，抽到排球票”为事件
，
“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B，
“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件
，A与B是相互独立事件…2分
6分
（I） 
答：两人都抽到足球票的概率是
.……………………9分
（II）甲、乙两均未抽到足球票（事件
发生）的概率为； 
∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为：
答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是
.………………………………12分
18（1）证：
， 
又
故 面。…………6分
（2）由三垂线定理可知
为二面角为的平面角
又
故
所成角的大小为二面角的大小
而
又
，
的余弦值为
.…………14分
19解：．
20解：
-
=1 M N
⑴ 
=p/2 
2a2=b2
b= 
a
O F F2 X
=p
∴c=
a ∴e=
= p=
a
⑵ N（X0，Y0），则 Y02=2P X0 y02=2p x0=
ax0 2x02- ax0=2a2
-
=1 2x02-y02=2a2
x0=a（舍去x0= 
a ） ∴y0 =2a（∵y0＞0）
=-
a2 + 
a2=4（-1）
a2 =3 ，b2 =6 ， p=2
∴双曲线C：
，抛物线E：y2=4X
。
⑶ NF：y=（x
a） ∴y=x-a
MF2：y=-（x-a） y=-x+a y=（-1）x （x＞0）
∴直线NF与MF2的轨迹方程为：y=（-1）x （x＞0）
21解: ⑴f(x)= x3-3x+1, 又f＇(x)= 3x2-3=
→ x2 =
→ x=±3/2
∵x3-3x＞1 ∴x=－3/2
又f(-3/2)=9/8 , ∴切点为(-3/2 , 9/8)
∴存在与直线4x+15y-3=0垂直的切线,其方程为
15x-4y-23=0 或 15x-4y+31=0
⑵ ∵f(x) = x3+ax2+bx+1在直线y=1的上方
∴x3+ax2+bx+1＞1 → x3+ax2+bx＞0
又f＇(x)= 3x2+2ax + b=-8 → b=-3x2-2ax-8
x3+ax2+bx= x3+ax2+x(-3x2-2ax-8)= -2x3-ax2-8x＞0在x∈(1 , 4)上有解
→ 2x2+ax2+8＜0在x∈(1 , 4)上有解 → a＜-2x-8/x在x∈(1 , 4)上有解
∴a＜(-2x-8/x)max , x∈(1 , 4)
而-2x-8/x=-2(x+4/x)≤-4
＝-8 (当x=2时取=)
∴a<-8