惠州市一中高三年级数学试卷 （2006 8）
考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写班级，姓名和学号.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.
一：选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．函数
的反函数是( )
A
B 
C
D 
2 若 f′(x0)=2, 则
=( )
A. －2 B. 2 C. －1 D. 1
3．如图所示是二次函数
的图像，则
等于( )
A．
B．
C．
D．无法确定
4．函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 ( )
 |
（A） （B） （C） （D）
A B C D
5．函数f(x)=cosx·sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是（ ）
A．
B．2 C.
D．
6．函数
的定义域为开区间
，导函
数
在内的图象如图所示，则函数 在开区间内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如果二次函数y=-2x2+(a-1)x-3,在区间(-∞,
上是增函数，则（ ）
A. a=5 B .a=3 C. a≥5 D. a≤-3
8．在等差数列
中，已知
则
等于 （ ）
A. 40 B. 42 C. 43 D. 45
9．若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 （ ）
A. 0 B. 6 C.12 D.18
二：填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。）
11．函数
的定义域是__________.
12．在等比数列中，如果a6=6,a9=9, 则a3=__________.
13. y=sin2（x）－cos2（x）＋1的周期是_______________.
14．关于函数f(x)=lg
(x≠0,x∈R)有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称。
②当x>0时，f（x）是增函数；当x<0时，f（x）是减函数。
③函数f（x）的最小值是lg2。
④当-1<x<0或x>1时，f（x）是增函数。
⑤f（x）无最大值，也无最小值。
其中正确的命题的序号是________。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三 解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分12分）
求下列函数的导数：
y= ex·㏑x
16 （本小题满分12分）
已知函数
，且
，
(1) 求a, b的值;
（2）求的最大值与最小值；
（3）若
，
，且
，求
和值.
17（本小题满分14分）
已知曲线
和
它们交于点P,过P点的两条切线与
轴分别交于A，B两点。
求△ABP的面积。
18 （本小题满分14分）
在等差数列
中，首项
，数列
满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求
19．（本小题满分14分）
已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
20．（本小题满分14分）
设a为实数，记函数
的最大值为g(a)。
（1）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（2）求g(a)
（3）试求满足
的所有实数a。
惠州市一中高三年级数学试卷参考答案（2006 8）
一. 选择题 :( 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. ） .
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | C | D | B | A | C | A | C | B | A | D |
二. 填空题: 本大题有4小题, 每小题5分, 共20分.
11 (-∞,2 〕 12 4
13 1 14 ①③④
三. 解答题
15 （本小题满分12分） ∞
解: 由 y= ex·㏑x
得 y′= (ex)′·㏑x+ (ex) ·(㏑x)′
= ex ·㏑x+ ex ·
= ex(㏑x +)
16 （本小题满分14分）
解：由题意得：
∴
∴
（2）max=1+
min=1-
（3）∵
∴
∴
或
∴
（舍去）或
（K∈Z）
∴
17（本小题满分14分）
解 ： 由
和y=x2得点p的坐标为(1,1)
又的导数为y′=-
,则在P点的导数为－1
因此在P点的切线方程为 y－1=－1(x－1)
即y=－x+2 .
那么点B的坐标为(2,0), 同理A点的坐标为(
,0 ).
∴三角形的面积为SABP=∣AB∣·h=×
×1=
18（本小题满分14分）
解：（1）设等差数列的公差为d， 
，
由
，解得d=1.
（2）由（1）得
设
，
则
两式相减得
19．（本小题满分14分）
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（
）＝
，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得
a＝
，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
| x | （－¥，－ | － | （－ | 1 | （1，＋¥） |
| f¢（x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
| f（x） | | 极大值 | ¯ | 极小值 | |
所以函数f（x）的递增区间是（－¥，－）和（1，＋¥）
递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－
x2－2x＋c，xÎ〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝
＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）<c2（xÎ〔－1，2〕）恒成立，只需c2>f（2）＝2＋c
解得c<－1或c>2
20（本小题满分14分）
解：（I）∵
，
∴要使
有意义，必须
且
，即
∵
，且
……① ∴的取值范围是
。
由①得：
，∴
，
。
（II）由题意知
即为函数
，的最大值，
∵直线
是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当
时，函数
，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由
知在上单调递增，故
；
（2）当
时，
，，有=2；
（3）当
时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
即
时，
，
若
即
时，
，
若
即
时，。
综上所述，有=
。
（III）当
时，
；
当
时，
，
，∴
，
，故当
时，
；
当时，
，由
知：
，故
；
当时，
，故
或
，从而有
或
，
要使，必须有
，
，即
，
此时，。
综上所述，满足的所有实数a为：