高三综合能力测试
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题(共50分)
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A＋B)=P(A)＋P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P. 
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1．已知集合P={ 0，m}，Q={x│
}，若P∩Q
≠
，则m等于 （*）
(A) 1
(B)
2
(C)
1或
(D)1或2
2．在
中，若
为钝角，则tan A·tan B的值为（*）
(A)小于1 (B) 等于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
3．若双曲线 - =1 (m >0)的一条准线与抛物线y2 = 8x的准线重合，则m的值为（*）
(A) (B)
2 (C)
4 (D)
4
4．动点在圆
上移动时，它与定点
连线的中点的轨迹方程是(*)
(A)
(B)
(C)
(D)
5．若 a = 2, b
= 5, a +b = 4，则 a-b 的值为（*）
(A) (B)
3 (C)
(D)
7
6．已知直线a, b，平面a ，且b Ì a ，那么“a∥b”是“a∥a
”的（*）
(A) 充分不必要条件 (B)
必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
7．若函数
的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（*）
(A）m≤－1 （B）－1≤m＜0 （C）m≥1 (D) 0＜m≤1
8．若x≥0，y≥0且x+2y = 1，那么2x+3y2的最小值为 （* )
（A）2 （B） （C） （D）0
9．有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现用一张正方形包装纸将其完全包住
（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（*）
（A） 
（B）
（C）
（D）
10．已知an = log (n+1) (n+2)，我们把使乘积a1a2…an为整数的数n称为“劣数”，则在区间
（0，2005）内所有劣数的个数为（*）
（A）7 （B）8
（C）9
（D）10
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知 ，则z = x-2y的最大值为*****.
12．椭圆
上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是*****.
13．已知函数f (x)= ，则f (- ) = *****；（2分）
f －1(3 ) = *****。（3分）
14．两个腰长均为 1 的等腰直角△ABC1和△ABC2，C1-AB-C2是一个60° 的二面角，则点C1和C2之间的距离等于 *****。(请写出所有可能的值)
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）设 f (x) = x-a-ax，其中0<a<1为常数，
（1）解不等式 f (x)<0；
（2）试推断函数f (x)是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。
16．（本题满分12分）函数f1(x)=A sin (w x+ j ) (A>0, w >0, j < )的一段图象过点
，如图所示.
（1）求函数f1 (x)的解析式；
（2）将函数y= f1 (x)的图象按向量a = ( , 0)平移，得到函数 y =
f2 (x)，求y=
f1 (x)+ f2 (x)的最大值，并求此时自变量
的集合.
17．（本题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是
正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。
（1）试判断直线PB与平面EAC的关系（不必证明）；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若AD = AB，试求二面角A－PC－D的正切值；
（4）当
为何值时，PB⊥AC ？
18．（本题满分14分）已知函数
, 且y = f ( x )的图象经过点（1, n2 )，n = 1, 2 , …数列
为等差数列.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 当n为奇数时, 设
是否存在自然数m和M, 使得不等式
恒成立? 若存在, 求出M-m的最小值；若不存在, 请说明理由.
19．（本题满分14分）已知点A(0,1), x、y Î R，m≥2，设i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量p = (x+m) i + y j, q = (x-m) i + y j，且 p - q = 4.
（1）求动点M (x, y )的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；
（2）设直线l ：
y = x - 3与点M的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得
•= ？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由.
20．（本题满分14分）设定义在R上的函数f (x)＝a0x4+a1x3+a2x2＋a3x (a i∈R，i＝0，1，2，3 )，当时，f (x)取得极大值，并且函数y＝f¢ (x)的图象关于y轴对称。
（1）求f (x)的表达式；
（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；
（3）求证：f (sin x)－f (cos x) ≤ (x∈R)．
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参考答案与评分标准
一．选择题：DABCC DBBAC
二．填空题：
11．2 12. 
或
13. , 6
14. , 1, （写出一个不给分，写出2个给3分，写出3个给5分，多写不给分）
三．解答题：
15．解：（1）∵ f (x)<0 Û x-a<ax, 0<a<1 2分
当x≥a时，原不等式 Û (1-a)x<a Û x<,即a≤x<, 4分
当x<a时，原不等式 Û (1+a)x>a Û x>,<x<a. 6分
∴ 不等式的解集为{x<x<}. 7分
（2）f (x) = x-a-ax = ,
可知，当x≥a时函数单调递增，当x<a时函数单调递减， 10分
所以函数f(x)有最小值f (a) = -a2 12分
16．解：⑴ 由图知： T = ―(―) = p，于是 w = = 2 2分
设f1(x)=A sin (2x+j )
将函数f (x)=A sin 2x的图象向左平移
，得f1(x)=A
sin (2x+j )的图象，
则
，∴ f1(x)=A sin (2x+ ), 4分
将(0,1)代入f1(x)=A sin (2x+ ), 易得A=2 6分
故 f1(x) = 2 sin (2x+ ) 7分
⑵ 依题意：
8分
∴ 
10分
当
，即
时，
此时，
的取值集合为
12分
17．解：（1）PB//平面EAC。 2分
（2）
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，
，
又
，所以，AE⊥平面PCD。 6分
（3）在PC上取点M使得
。
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以
所以，在等腰直角三角形DPC中，
，
连接
，因为AE⊥平面PCD，所以，
。
所以，
为二面角A－PC－D的平面角。
在
中，
。
即二面角A－PC－D的正切值为
。 10分
（4）设N为AD中点，连接PN，则
。
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。
所以，NB为PB在面ABCD上的射影。
要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC
在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x
则
，
解之得：
。
所以，当
时，PB⊥AC。 14分
证法二：（按解法一相应步骤给分）
设N为AD中点，Q为BC中点，则因为
PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，
，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，
，
，
以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为
轴如图建立空间直角坐标系。设
，
，则
，
，
，
，
，
。
（2）
，
，
，
，
所以，
。
又
，
，所以，AE⊥平面PCD。 6分
（3）当
时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；
设平面PAC的法向量为
，则
，
，即
，取
，可得：
。所以，
。
向量
与
所成角
的余弦值为：
。
所以，tan q = 。
又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角。其正切值等于。 10分
（4）
，
，令
，得
，所以，
。所以，当时，PB⊥AC。 14分
18．解： (1) 由题意得
即
. 1分
令
, 则
；令
, 则
；
令
, 则
设等差数列的公差为d, 则
3分
∴
. 4分
(2) 由(1)知: 
.
n为奇数时, 
5分
∴
6分
……①
………②
由①－②得: 
=
= 4 
9分
Þ 
10分
设
, ∵
∴
随n的增加而减小, 又
随n的增大而减小, ∴
为n的增函数. 12分
当n=1时,
,而
∴
13分
易知：使恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，
∴ M-m的最小值为2. 14分
19．解：（1）因 p = , q = ，且 p - q = 4,
故点M (x, y)到定点F1(-m, 0), F2 (m, 0)的距离之差为4.
∴ 当2m = 4即m = 2时，点M的轨迹是一条射线，方程为y = 0 (x≥2), 3分
当2m > 4即m > 2时，点M的轨迹是以F1 (-m,0 ), F2 (m, 0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为：(x≥2). 6分
（2）当m =2时，显然不合题意； 7分
当m >2时，点M的轨迹方程为 (x≥2).
设B (x1, y1)、C (x2, y2) (x1≥2, x2≥2)，则= (x1, y1-1), = (x2, y2 -1),
又•= 得：x1x2 + (y1-1) (y2-1) = . 9分
把y1 = x1-3, y2 = x2 -3代入上式整理得：
5x1x2 - 8(x1+x2) +46 = 0 ① 10分
由 消去y得：(m2 - 5 ) x2 +12x - 4m2 -20 = 0 ②
把x1+x2 = - , x1x2 = 代入①，并解得m2 = 9. 12分
当m2 = 9时，方程②为 x2+3x-14 = 0, x1x2 = -14,
而x1≥2, x2≥2，因此满足条件的m值不存在. 14分
20．解：∵f¢ (x)＝4a0x3＋3a1x2＋2a2x+a3为偶函数，∴ f ¢(-x) = f ¢(x),
∴ -4a0x3 +3a1x2 -2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3,
∴ 4a0x3 + 2a2x =0对一切x Î R恒成立，
∴ a0＝a2＝0，∴f (x)＝a1x3＋a3x 2分
又当x＝－时，f (x)取得极大值
∴ 解得∴f (x)＝x3－x，f¢ (x)＝2x2－1 4分
⑵解：设所求两点的横坐标为x1、x2 (x1 < x2)，则(2x12－1)(2x22－1)＝－1
又∵x1，x2∈[－1，1]，∴2x12－1∈[－1，1]，2x22－1∈[－1，1]
∴2x12－1，2x22－1中有一个为1，一个为－1， 6分
∴或 ，∴所求的两点为(0，0)与(1，－)或(0，0)与(－1，)。 8分
⑶证明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。
当0< x < 时，f ¢ (x) < 0；当 < x < 1时，f ¢ (x)>0。
∴f (x)在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，
又f (0)＝0，f ()＝－ ，f (1)＝－，而f (x)在[－1，1]上为奇函数，
∴f (x)在[－1，1]上最大值为，最小值为－，即 f (x) ≤ ,
∴ f (sin x) ≤ ， f (cos x) ≤ ， 10分
∴ f (sin x)－f (cos x) ≤ f (sin x)＋ f (cos x) ≤ 14分