中档题训练（七）函数部分1
1. 设关于
的二次方程
的两根
满足
,求
的取值范围.
2. 在函数
的图象上有A、B两动点，满足AB∥x轴，点M(1,m)(m为常数，m>3)是三角形ABC的边BC的中点，设A点横坐标t，△ABC的面积为f (t).
(1) 求f (t)的解析表达式；
(2) 若f (t)在定义域内为增函数，试求m的取值范围；
(3) 是否存在m使函数f (t)的最大值18？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由。
3. 已知
，求
的解析式。
4. 命题p:函数
的定义域为
；命题q:不等式
对一切正实数均成立.如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.
5. 已知函数
（1）证明：函数
在
上为增函数；
（2）用反证法证明方程
没有负数根.
6. 已知
，（1）若
，求的最小值；（2）若不等式
对于一切
恒成立，求实数
的取值范围。
7. 已知二次函数f（x）=a
（a>0），对称轴方程为
，方程f（x）=1有一个根为0，方程f（x）=x有两个根
，
．⑴如<2<<4 ．求证： >－1．
⑵如0<<2 ，－=2 ．求b的取值范围．
中档题训练（八）函数部分2
1. 已知二次函数
（
R，
0）．
（Ｉ）当０＜＜
时，
（Ｒ）的最大值为
，求
的最小值．
（II）如果
[0，1]时，总有
．试求的取值范围．
（III）令
，当
时，
的所有整数值的个数为
，求证数列
的前
项的和
.
2. 若不等式
对任意的实数x均成立，求实数a的取值范围。
3. 已知函数
（k为正实数，
）定义域为
，问：是否存在实数a,b使得当
时，f(x)的值可取到一切正数，且
若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由。
4.设集合
若A∩B≠
，求m的取值范围。
5. 已知
，
，求
的最大值与最小值。
6.. 若不等式对任意的实数均成立，求实数的取值范围。
7.. 设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围。
中档题强化训练（九）函数部分3
1. （1）已知函数y=f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m+x)=f(m－x)恒成立，求证：y=f(x)的图象关于直线x=m对称。（2）若函数y=log2ax－1的图象的对称轴是x=2，求非零实数a的值。
2. 已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2+(a+1)x+1]，（1）若f(x)的定义域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的值域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围。
3.是否存在实数a，使得f(x)=loga(ax－
在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。
4. 已知函数f(x)=log3x+2，x∈[1，9]，求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值。
5. 设
.⑴求的定义域
⑵ 是否存在最大值或最小值
6.已知函数
。⑴当
时，求的最大值和最小值；⑵求
的范围，使在区间
上是单调函数。
7 已知函数
，问是否存在实数
，使在[-1，2]上取得最大值3，最小值-29，若存在，求出的值，并指出函数的单调区间，若不存在，请说明理由。
中档题训练（七）参考答案
1．解：设
方程
的两个根满足
解之得:
2．解：(1) f (t) = 2t (m-3t2) 
(2) 
∵
上是增函数.
∴
即
上恒成立.
即m的取值范围
(3) 令f’(t)=0，得
（其中
舍去） 
即
时，在处 
=12，此时m的值不存在.
令
，即m>9由(2)知f (t)在 
为增函数，
，由2(m-3)=18得m=12 综上只存在m=12适合题意。
3． 解：令
则
的解析式为
说明：此题极易忽略的定义域，换元时要注意中间变量的取值范围。
4．解： 命题p为真命题
函数的定义域为R
对任意的x均成立
时，-x>0解集为；或者
命题q为真命题对一切正实数均成立
对一切正实数均成立.
所以，命题q为真命题a≥1
根据题意知，命题p与q为有且只有一个为真命题. 当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在；当命题q为真命题且命题p为假命题时a的取值范围是[1，2].综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，实数a的取值范围是[1，2].
5．解：（1）设
∴在上为增函数
（2）假设
有负根，则有
即
显然
当
而
，这是不可能的，即不存在
的解.
当
矛盾，即不存在
的解.
综上，假设不成立，即不存在负根.
6．（1）
，
∴
，等号当且仅当
，即
时取得。∴的最小值为
。
（2）不等式即为
，也就是
，
令
，则
在
上恒成立，∴
，解得
。
7．解：⑴
有根为0
，设
。
⑵
由⑴
又
。
中档题训练（八）参考答案
1．解：⑴由
知
故当
时取得最大值为，即
，所以的最小值为
；
⑵由
得
对于任意
恒成立，
当
时，
使成立；
|
时，有
对于任意的
恒成立；
，则
,故要使①式成立，则有
，又
；又
，则有
，综上所述：
；
⑶当时，
，则此二次函数的对称轴为
，开口向上，故在
上为单调递增函数，且当
时，
均为整数，故
，则数列的通项公式为
，故
①，又
②，
由①—②得
，
。
2．解：设
故原题条件可等价转化为：
在
上恒为正值。以a为参数，则有 
或
即 
或
，解得2<a<5或
3．解：假设存在满足条件的实数a,b，由
。
1
又
2由1、2可解得
。
4．答案：
5．解： 
=
=
6．解：令
对任意的实数
均成立
令
7．解：∵f(x)是偶函数，∴f(1－m)=f(1－m)，f(m)=f(m)，
于是f(1－m)<f(m)
f(1－m)<f(m)，
∵f(x)在[0，2]上是减函数，
，解之得：－1≤m<
中档题训练（九）参考答案
1．解：（1）设P(x0，y0)是y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0)，点P关于直线x=m的对称点为P'，则P'的坐标为(2m－x0，y0)，因为f(2m－x0)=f[m+(m－x0)]=f[m－(m－x0)]=f(x0)=y0，即P'(2m－x1，y0)在y=f(x)的图象上，故y=f(x)的图象关于直线x=m对称。
（2）由（1）知f(2－x)=f(2+x)恒成立，∴a(2－x)－1=a(2+x)－1恒成立，即－ax+(2a－1)=ax+(2a－1)，又∵a≠0，∴2a－1=0，得a=。
2．解：（1）据题意，(a2－1)x2+(a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立
当a2－1≠0时，
解之得：a<－1或a>
当a2－1=0时，若a=1，f(x)=lg(2x+1)，不合题意，当a=－1时，f(x)=0，符合题意，综上所述，a≤－1或a>。
（2）
，当a2－1=0时，若a=1，f(x)=lg(2x+1)，符合题意，若a=－1，f(x)=0，不合题意。综上所述，1≤a≤。
3．解：设
，则f(x)=loga(at2－t)，由对数函数定义，at2－t>0
∵a>0，t>0，∴t>
，又知
（
）是以t=
为对称轴的抛物线，且
，因而g(t)在定义区间上是增函数，要使原函数在[2，4]上递增，应有
，解之得：a>1，∴存在实数a，只须a>1，即满足条件。
4．解：∵
∴1≤x≤3,又y=(log3x+2)2+log3x2+2=log32x+6log3x+2=(log3x+3)2－3，∵ 0≤log3x≤1，∴ ymax=13
5．解：①
②
当
≤1时，即1
≤3时， 无最大值和最小值。当1
p时，即
时，
取得最大值。
，但无最小值。
6．解：当时，
有最小值
，当
有最大值
②
的对称轴为
，又在上是单调函数，则
≤
，或≥
，又
≤≤
或
≤≤
故所求范围是
7．