第一讲 集合与函数
陕西特级教师 安振平
l 高考风向标
本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件．映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用．
l 典型题选讲
例１ 在
中，“
”是“
”的什么条件？
讲解 在中，角A、B的对边分别是
是的外接圆的半径．
一方面，因为 A<B，所以a<b ,
即
，亦即 ，从而中
A<B
。
另一方面，因为，
所以 ，即 
，得A<B，
从而中，A<B。
故中，“”是“” 的充要条件．
点评 试问：在中，“”是“
”的什么条件？
例２ 试构造一个函数
，使得对一切
有
恒成立，但是
既不是奇函数又不是偶函数，则可以是
.
讲解 的图像部分关于原点对称，部分关于
轴对称，如
．
点评 本题是一道开放题，你能给出其它的答案吗？请不妨一试．
例３ 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．
（１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；
（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n(nÎN＋)与得到的细胞个数y之间的关系；
（３）写出得到的细胞个数y与分裂次数n之间的关系式，试用计算器算算细胞分裂15次、20次得到的细胞个数．
讲解 （１） 利用正整指数幂的运算法则，可以算出1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数，列表如下
| 分裂次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 细胞个数 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 |
（２）细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是
y＝2n，nÎN＋．
利用计算器可以算得
215＝32768，220＝．
故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32768个和个．
点评 细胞分裂是一种很有趣的数学问题，我们也可以思考下面的类似的问题：
一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存
KB，然后每
分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的倍，那么开机后经过 ______ 分钟，该病毒占据
MB内存（
MB=
KB）.
例４ 已知函数
的反函数
，
（１）若
，求
的取值范围
；
（２）设函数
，当
时，求
的值域．
讲解 ∵ ，
∴ 
．
（１）∵ 即
．
∴
，
∴
解之得 
，
∴
．
（２） ∵ 
． 
令
，显然在[0，1]递增，
则有 
．
∴
，即的值域为
．
例５ 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率
与日产量
（件）之间大体满足关系：
（其中c为小于96的正常数）
注：次品率
，如
表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损
元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额
（元）表示为日产量（件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
讲解 （1）当
时，
，所以，每天的盈利额
;
当
时，
，所以，每日生产的合格仪器约有
件，次品约有
件．故，每天的盈利额
.
综上，日盈利额（元）与日产量（件）的函数关系为：
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0．
当时，
．
令
，则
．故
．当且仅当
，即
时，等号成立．
所以（i）当
时，
（等号当且仅当
时成立）．
（ii）
当
时，由得
，
易证函数
在
上单调递增（证明过程略）．
所以，
．所以，
，
即
．（等号当且仅当
时取得）
综上，若
，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若，则当日产量为
时，可获得最大利润．
点评 分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待．
例６ 设二次函数
，已知不论α，β为何实数，恒有
（1）求证：
（2）求证：
（3）若函数
的最大值为8，求b，c的值．
讲解 （1）由产生b+c，只要消除差异，这可令
从而知 
（2）由
又因为
（3）
当
由
解得 
点评 注意：
且
, 这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视.
例７ 设f(x)=lg
,a
R, nN且n
2.若f(x)当x(-
,1)有意义，求a的取值范围．
讲解 f(x)当x(-,1)有意义，当且仅当1＋2
＋…＋(n-1)＋an>0 对x(-,1)恒成立．即函数
g(x)=
＋
＋…＋
＋a>0
对于任意的x(-,1)恒成立．
因为g(x)在(-,1)上是减函数，其最小值为g(1)=
＋
＋…＋
＋a=
(n－1)＋a，
所以g(x)
>0对x(-,1)恒成立的充要条件是
＋a>0，即a>
．
故所求实数a的范围为（，+）．
点评 构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定．请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究．
例８ 函数
是定义在［0，1］上的增函数，满足
且
，在每个区间
（
1，2……）上，
的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分．
（１）
及
，
的值，并归纳出
的表达式;
（２）直线
，
，x轴及的图象围成的矩形的面积为
（1，2……），记
，求
的表达式，并写出其定义域和最小值．
讲解 （１）为了求，只需在条件中，令
，即有
，得
．
由
及，得
．
同理，
．
归纳得
．
（２）
时,
.
故 
是首项为
，公比为
的等比数列,
所以 
.
的定义域为
1，当
时取得最小值
.
点评 本题是２００４年北京高考数学第１８题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题．
l 针对性演练
１．合
，若
，
，则
，则运算
可能是 （ ）
(A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法
２．已知集合
，
，则满足条件
的映射
的个数是 ( )
（A）2 （B）4 （C）5 （D）7
３．某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是
( )
 |
(A ) (B) (C) (D)
４．定义两种运算：
，
，则函数
为（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数
（C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数
５．偶函数
在
上单调递增，则
与
的大小关系是 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
６．已知函数
，且正数C为常数．对于任意的
，存在一个
，使
，则称函数
在D上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为９的函数的例子：________________.
7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
８．已知
定义域为
，且对任意的、
，恒有
，
时，
．
（１）求
的值，并证明
；
（２）求证：在的定义域内恒有
．
９．已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：
（1）对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥0；
（2）f(1)=1
（3）若
，
，
，则有
（Ⅰ）试求f(0)的值；
（Ⅱ）试求函数f(x)的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)≤2x..
10. 设
、
为常数，
：把平面上任意一点
（，）映射为函数
（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；
（2）证明：当
时，
，这里t为常数；
（3）对于属于M的一个固定值
，得
，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？
答案：
１．D．２．D．３．C．４．A．５．D．6．
，
， 
（
）．
7．450．８．略．
９．（I）令
，
依条件（3）可得f(0+0) ≥f(0)+f(0)，即f(0) ≤0.
又由条件（1）得f(0) ≥0，则f(0)=0.
（Ⅱ）任取
，可知
,
则
,
即
，故
于是当0≤x≤1时，有f(x)≤f(1)=1
因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，
（Ⅲ）证明：
研究①当
时，f(x) ≤1<2x
②当
时，
首先，f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x)，∴
.
显然，当
时，
成立.
假设当
时，有
成立，其中k＝1，2，…
那么当
时，
可知对于
，总有
，其中n=1，2，…
而对于任意，存在正整数n，使得
，
此时
,
③当x=0时，f(0)=0≤2x..
综上可知，满足条件的函数f(x)，对x∈[0，1]，总有f(x) ≤2x成立.
10. (1)假设有两个不同的点（，），（，
）对应同一函数，即
与
相同，
即 
对一切实数x均成立。
特别令x=0，得a=c；令
，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数。
（2）当
时，可得常数a0，b0，使
。
由于
为常数，设
是常数.
从而
。
（3）设，由此得
（
，
）
在映射F下，
的原象是（m，n），则M1的原象是
消去t得
，即在映射F下，M1的原象
是以原点为圆心，
为半径的圆．
第二讲 数列
陕西特级教师 安振平
l 高考风向标
数列的概念．等差数列及其通项公式、前n项和公式；等比数列及其通项公式、前n项和公式．数学归纳法及其应用．通项与前n项和之间的关系是高考常考的热点内容，递推数列在各地的高考中闪亮登场．
l 典型题选讲
例１ 若数列{an}满足
若
，则
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
讲解 逐步计算，可得
,
这说明数列{an}是周期数列，
而
, 所以
．应选B．
点评 分段数列问题是一种新问题，又涉及到周期数列，显示了以能力立意，题活而不难的特色．
例２ 在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am, am+2, am+1成等差数列.
（１）写出这个命题的逆命题；
（２）判断逆命题是否为真，并给出证明.
讲解 （１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am, am+2, am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列.
（２）设{an}的首项为a1，公比为q
由已知得2am+2= am
+ am+1
∴2a1qm+1=a1
+a1qm
∵a1≠0 q≠0 ,
∴2q2－q－1=0 ,
∴q=1或q=－.
当q=1时，
∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2,
∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列.
当q=－时,
2 Sm+2=
,
∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ,
∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．
综上得：当公比q=1时，逆命题为假；
当公比q≠1时，逆命题为真．
点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题．
例３ 设数列{an}前n的项和为 Sn，且
其中m为常数，
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）若数列{an}的公比满足q=f(m)且
，为等差数列，并求
．
讲解（1）由
，得
两式相减，得
是等比数列．
点评 为了求数列
的通项，用取＂倒数＂的技巧，得出数列
的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题．
例４ 设数列
的前n项和为Sn，若
是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.
（１）求数列的通项公式
（用S1和q表示）；
（２）试比较
的大小，并证明你的结论.
讲解 （１）∵是各项均为正数的等比数列，
∴
．
当n=1时，a1=S1；
当
．
∴
（２）当n=1时，
∴
．
∵
①当q=1时，
②当
③当
综上以上，我们可知：当n=1时，
．当
若
若
点评 数列与比较大小的综合是高考命题的一个老话题，我们可以找到较好的高考真题．本题求解当中用到
与之间的关系式：
例５ 已知数列
满足>0，且对一切n∈N*，有
，
(1) 求证：对一切n∈N*，有
；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 求证：
．
讲解 (1) 由 
①
得 
②
②-①得 
=(Sn+1+Sn)(Sn+1-Sn)=(2
Sn+an+1) an+1
∵ an+1 >0，
∴ ．
(2)
由，得
(n≥2)，
两式相减，得
(an+1+ an)( an+1 - an)= an+1+ an，
∵an+1+ an >0，
∴an+1 - an =1．(n≥2)
当n=1，2时易得，a1=1，a2=2，∴an+1 - an =1(n≥1) ．
从而{ an}是等差数列，其首项为a1=1，公差d=1，故an=n ．
(3) 
点评 关于数列不等式的证明，常用的技巧是放缩法，而放缩应特别注意其适度性，不可过大，也不可过小．
例6 如图,一粒子在区域
上运动,在第一秒内它从原点运动到点
,接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．
（1）设粒子从原点到达点
时，所经过的时间分别为
，试写出
的通相公式；
（2）求粒子从原点运动到点
时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．
讲解 (1) 由图形可设
，当粒子从原点到达
时，明显有
… …
∴
＝
,
.
,
．
,
,
即
.
（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点
所经过得时间
再加（44－16）＝28秒，所以
秒．
（3）由
2004，解得
，取最大得n=44,
经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．
点评 从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．
例７ 已知数列
的前
项和
满足
.
（1）写出数列的前三项
；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数
，有
.
讲解 （１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值
，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．
由
由
由
（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上
当
时，有
即有 
从而 
……
接下来，逐步迭代就有
经验证a1也满足上式，故知 
其实，将关系式
和课本习题
作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以
，便得
．
令
就有
，
于是
，
这说明数列
是等比数列，公比
首项
，从而，得
，
即 
，
故有
（３）由通项公式得
当
且n为奇数时， 
当
为偶数时，
当为奇数时，
为偶数，可以转化为上面的情景
故任意整数m>4，有
点评 本小题２００４年全国（旧教材版）高考理科压轴试题．主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明．考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．当中的第2小题，显然与课本上的问题
有着相同的本质．而第３小题又有着明显的高等数学的背景，体现了知识与技能的交汇，方法与能力的提升，显示了较强的选拔功能．
l 针对性演练
１ 某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高环境不满意度降低，设住第n层楼时，环境不满意度为
，则此人应选（ ）
(A) 1楼 (B) 2楼 (C) 3楼 (D) 4楼
2. 若等比数列的各项均为正数，前项之和为
，前项之积为，前项倒数之和为
，则
( )
（A）=
（B）＞ （C）
（D）
＞
3. 2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知１个细菌M可以杀死１个病毒N，并且生成２个细菌M，那么１个细菌M和2048个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是 （ ）
（A）1024 （B）2048 （C） 2049 （D）无法确定
4. 设数列
的前n项和为，令
，称
为数列
，
，……，的“理想数”，已知数列，，……，
的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为
(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008
5. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：
| 1998年 | 1999年 | 2000年 | |
| 新植亩数 | 1000 | 1400 | 1800 |
| 沙地亩数 | 25200 | 24000 | 22400 |
而一旦植完，则不会被沙化.
问：（1）每年沙化的亩数为多少？
（2）到那一年可绿化完全部荒沙地？
６． 已知正项数列满足
（
），且
求证
（1）
（2）
答案
１．C ２． C ３．C ４．A
５．（1）由表知，每年比上一年多造林400亩.
因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为
亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩.
同理2000年沙化土地为200亩.
所以每年沙化的土地面积为200亩.
（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.
设2000年及其以后各年的造林亩数分别为
、
、
、…，则n年造林面积总和为：
.
由题意：
化简得
,
解得： 
.
故8年，即到2007年可绿化完全部沙地.
６．（1）将条件
变形，得
.
于是，有
…………
.
将这n-1个不等式叠加，得 
故 
（2）注意到，于是由（1）得
，
从而，有 
第三讲 三角函数
陕西特级教师 安振平
l 高考风向标
主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性．
l 典型题选讲
例1 （1）已知：
（2）已知：
的值.
点评 三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题１也可以逆向考虑，事实上
例2 已知电流I与时间t的关系式为
．
（１）右图是（ω＞0，
）
在一个周期内的图象，根据图中数据求
的解析式；
（２）如果t在任意一段
秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
讲解 本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A＝300．
设t1＝－
，t2＝
， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝
．
∴
ω＝
＝150π．
又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋
）＝0，
而， ∴ ＝
．
故所求的解析式为
．
（２）依题意，周期T≤，即
≤，（ω>0）
∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故最小正整数ω＝943．
点评 本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．
例３ 已知函数
.
（１）求实数a，b的值；
（２）求函数的最大值及取得最大值时x的值.
（１）函数
讲解 学会翻译，逐步展开解题思维．
时，函数f(x)的最大值为12.
点评 结论
是历年高考命题的热点之一．
例4 已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.
讲解
解题目标中含有角
，可向
角转化，以便出现
；而条件中的
可向转化. 这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上
原式＝
＝
＝ ，
由 tan2θ＝，
解得 tanθ＝－或tanθ＝，
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，
∴tanθ＝－ ，
∴原式＝＝3＋2．
点评 差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路.
例５ 在
中，
，
，
，求
的值和的面积．
讲解 本题是２００４年北京高考试题，下面给出两种解法．
法一 先解三角方程，求出角A的值．
又
,
.
法二 由
计算它的对偶关系式的值．
①
,
. ②
① + ② 得 
.
① － ② 得 
.
从而 
．以下解法略去．
点评 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？
例６ 设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， 
sin2x)，x∈R.
（１）若f(x)=1－且x∈[－
，]，求x；
（２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(m<
)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
讲解 （１）依题设可知，函数的解析式为
f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+
).
由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程
sin(2 x
+)=－
．
∵-≤x≤，
∴-≤2x+≤
，
∴2x+=-，即x=-
．
（２）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.
由（１）得
f(x)=2sin2(x+
)+1.
∵m<，∴
，
点评 本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．
例７ 已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为
，且m·n=－1.
（1）求向量n；
（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量p=
，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求n+p的取值范围．
讲解 （1）设
①
与
夹角为
，有·=··
，
②
由①②解得
（2）由
垂直知
，
由2B=A+C 知B= ，A+C=
若
点评 本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性．解题后，请你反思：解题思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点，只有这样的反思训练，请相信，你就会慢慢成为解题高手的．
例８ 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
（１）用a，表示S1和S2；
|
变化时，求
取最小值时的角．
讲解 （１）∵
∴
设正方形边长为x.
则BQ=
（２）当固定，变化时，
令
令
任取
，且
，
．
，
是减函数．
取最小值，此时
点评 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数
．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？
l 针对性演练
1. 函数
的图象如图所示，则
的解析式可能是
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
已知
，且
，则
（ ）
(A) 
(B)
(C)
(D) 
3. 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得
∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）.
（A）20
（B）20 （C）40 （D）20
|
4.
设
是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中
.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
| t | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
| y | 12 | 15.1 | 12.1 | 9.1 | 11.9 | 14.9 | 11.9 | 8.9 | 12.1 |
经长期观观察，函数的图象可以近似地看成函数
的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5.
已知
，且
其中
，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）
（A）
（B）3 或
（C）
（D）或
6.
如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：
，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：
①A=10； ②
； ③
； ④k=5．
则其中所有正确结论的序号是 ．
7. 求函数
的最小正周期和最小值；并写出该函数在
上的单调递增区间．
8.
求函数
的最小正周期、最大值和最小值．
9.
已知α为锐角,且
求
的值．
10.
已知0<α<
，tan
+cot=
，求sin(
)的值．
11.
．
12.
已知
的值．
参考答案：
１．C. 2．A. ３．D. ４．A. ５．C. ６．①②④．
7．
故该函数的最小正周期是
；最小值是－2；单增区间是[
]，
．
8． 
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是
，最小值是
.
9． 原式=
因为
时,
所以 原式=
因为α为锐角,由得
所以 原式=
10．由已知
.
从而 
.
11．由
于是
12．由已知得：
．
由已知条件可知
从而 
有 
，得
数学专题（五）
不 等 式
陕西 安振平
l 高考风向标
不等式的概念和性质，2元均值不等式．不等式的证明（比较法、分析法、综合法）．不等式的解法（一元一次、一元二次、一元高次、分式、绝对值不等式）不等式的综合应用（求最值、求参数的取值范围、解答实际问题）．
l 典型题选讲
例１ 已知（
，
）是直线
与圆
的交点，则当
取最小值时，则实数
的值等于（ ）
（A）
（B）
（C） （D）
讲解： 由交点满足方程，便得
对第１个等式两边平方后减去第２个等式，立即得出
．
故当取最小值
时，实数对于的值等于１，应该选C．
点评: 此题是一道解析几何面孔呈现的代数最值问题，解答中建立函数
，而
是二次函数，其求最值的方法自然就想到了是配方法！
例２ 设不等式2x－1＞m(x2－1)对满足m≤2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．
讲解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一条直线（由m≤2知它实质是一条线段），且使m≤2的一切实数都有2x－1＞m(x2－1)成立．
所以 
即 
即 
所以 
．
点评：没有函数，构造函数，巧用线段函数的单调性质解题，这充分体现了函数思想在解答数学问题中的神奇作用．
例３ 若
, 则函数
的最大值是________．
讲解： 由对称性，可以猜想：当
时，函数
取得最大值
．于是，就将求最值问题转化为不等式证明问题了．
令
，
则
由
得
于是
这是显然成立的，
故当
即
时，
应填
点评：换元法的美妙之处在于将三角问题化归为代数问题，而猜想最值又将问题转化为不等式证明．应用分析法是证明不等式的有效方法之一，它可以化生为熟、化繁为简．
例４ 某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防，规定每人每天早晚八时各服一片，现知该药片每片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60％，在体内的残留量超过386毫克，就将产生副作用.
(１) 某人上午八时第一次服药，问到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留多少？
(２) 长期服用的人这种药会不会产生副作用？
讲解：（1）设人第次服药后，药在体内的残留量为毫克.则
，
，
（2）由
，
是一个以数
为首项，0.4为公比的等比数列，
，
，
不会产生副作用．
点评：本题是一道数列与不等式综合的应用性问题，它紧密结合人们的生活实际，是一道既考知识，又考能力的好问题．
例５ 已知a>0，函数f(x)=ax－bx
．
(１) 当b>0时，若对任意xR都有f(x)1，证明a2
；
(２) 当b>1时，证明对任意x[0,1],都有f(x)1的充要条件是b-1a2；
(３) 当0<b1时，讨论：对任意x[0,1],都有f(x)1的充要条件．
讲解 (１) 对已知二次函数应用配方法，得
，当xR时，f(x)
= 
，
于是，对任意xR都有f(x)1
f(x)= 1 a2．
(２) 用f(x)、f(x)
表示f(x)在[0,1]上的最大值、最小值，则对任意x[0,1],都有f(x)1当且仅当
（*）
而 f(x)=-b(x－
+，（x[0,1]）
当2b
时，0<
1，f(x)= ，f(x)=f(0)或f(1)；
当2b<a时，>1, f(x)= f(1)，f(x)=f(0)．
于是
(*)
或
b-1a2或x
b-1a2．
故对任意x[0,1],都有f(x)1的充要条件是b-1a2．
(３) 由(２)的解答知，对任意x[0,1],都有f(x)1当且仅当
或
0<a2b或2b<ab+1 0<ab+1．
故当0<b1时，对任意x[0,1]，都有f(x)1的充要条件为0<ab+1．
点评：含参数的二次函数与绝对值不等式相综合，这是历年高考命题的热点之一．读者在备考复习时，应当重视这类题型的解题技巧，掌握一些解题的套路，领悟当中的变化技能，反复思考参数的处理艺术．
例6（1）已知是正常数，
，
，求证：
，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数
（
）的最小值，指出取最小值时的值．
讲解：（1）应用２元均值不等式，得
，
故 ．
当且仅当
，即
时上式取等号．
（2）由（1）
．
当且仅当
，即
时上式取最小值，即
．
点评：给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．
例７ 如图，A、B为函数
图像上两点，且AB∥x轴，点M（1，m）（m>3）是△ABC边AC的中点．
（1）设点B的横坐标为t，△ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式
；
（2）求函数的最大值，并求出相应的点C的坐标．
讲解：先引如点A，B的坐标，再逐步展开解题思维．
（1）设B
，A
，
，M是△ABC边AC的中点，则
，
∴
．
（2）∵
，M（1，m）是△ABC边AC的中点
∴ 
∴
．
当
时，
．
当且仅当
，即
时，S的最大值是
，此时点C的坐标是
．
当m>9时，在区间（0，1）上是增函数，证明如下：
设
．
∵
，
，
，又
，
∴
．
又
，
∴
，
∴
，
∴在（0，1）上为增函数，
故
时，
，此时
．
点评：本题是笔者自编的一道试题，曾作为陕西省高三的会考试题．此题的解答如果改为应用导数知识，其解法就要简洁的多了，请读者不妨一试．
例8 过点
作曲线
（
，
，
）的切线切点为
，设点在轴上的投影是点
；又过点作曲线
的切线切点为
，设点在轴上的投影是点
；……；依此下去，得到一系列点
，设点
的横坐标是．
（1）求证：
，
；
（2）求证：
；
（3）求证：
（注：
）．
讲解：（１）对
求导数，得
．
若切点是
，则切线方程是
．
当
时，切线过点
，即
，得
；
当
时，切线过点
，即
，得
．
所以数列是首项为
，公比为的等比数列，，．
（２）应用二项式定理，得
．
（３）记
，则
，
两式相减，得
，
，
故 
．
点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神．
l 针对性演练
1．
已知是正实数，则不等式组
是不等式组
成立的（ ）
（A）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分又不必要条件
2． 若a,b
则a <1，b<1，是a+b+a-b<2成立的
（
）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3． 已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是
（A）0≤m≤4 （B）1≤m≤4
（C）m≥4或x≤0 （D）m≥1或m≤0
４．若对任意的长方体
，都存在一个与等高的长方体
，使得与的侧面积之比和体积之比都等于，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C） （D）
５．不等式x2－x－6＞3－x的解集是（ ）
（A）（3，＋∞） （B）（－∞，－3）∪（3，＋∞）
（C）（－∞，－3）∪（－1，＋∞） （D）（－∞，－3）∪（－1，3）∪（3，＋∞）
6．是否存在常数，使得不等式
对任意正实数 、恒成立？证明你的结论．
7． 已知
（１）当
时，若函数f (x)的图象与直线
均无公共点，求证
（２）
对于给定的负数
，有一个最大的正数M（a），使得
，问a为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论．
8． 设
为正实数，满足
求
的最大值．
9． 已知函数
．
（1）证明函数
的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当
，
时，求证：
，
；
（3）我们利用函数构造一个数列
，方法如下：对于给定的定义域中的
，令
，
，…，
，…，在上述构造数列的过程中，如果
（i＝2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果不在定义域中，构造数列的过程停止．
①如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；
②如果取定义域中任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值．
参考答案：
１．B．2．C．3．C．4．D．5．D．
6．当
时，由已知不等式得
．
下面分两部分给出证明：
⑴先证
，
此不等式
，此式显然成立；
⑵再证
，
此不等式
，此式显然成立．
综上可知，存在常数
，是对任意的整数x、y，题中的不等式成立．
7． （１）
的图象与y=x无公共点.
（２）
８．令
则 
，
于是 
当 
即
时，
9．（1）设点P（，）是函数图象上一点，则
，
点P关于（a，-1）的对称点
，
．
∵
，
，
∴
，即点
在函数的图象上，
∴函数的图象关于点（a，-1）成中心对称图形．
（2）∵
．
又，，
，
∴
，
∴
，
∴
．
（3）①根据题意，只需x≠a时，
有实解，即
有实解，即
有不等于a的解，
∴
由
得：a≤-3或a≥1，
由
．
综上a≤-3或a≥1；
②根据题意，应满足
时
无实解，
即时
无实解，
由于
不是方程的解，
∴对于任意
，无解，
∴a＝-1．
数学专题（六）
直线与圆锥曲线
陕西 安振平
l 高考风向标
直线的倾斜角和斜率，直线的方程，两直线的位置关系，简单的线性规划．圆的方程，椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和简单的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系．将解析几何知识和向量知识综合于一题，这是近年高考数学命题的一个新的亮点．
l 典型题选讲
例１ 若
的取值范围是（ ）.
A． [2，6] B． [2，5] C．[3，6] D．[3，5]
讲解 由
得 
又
所以当
时，原不等式组成立，从而
故应选A．
点评 请读者不妨画个图形，可以给出图形解法吗？
例２ 椭圆
的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则
＝（ ）
A． B． C．
D．4
讲解 由椭圆的方程可以读出 
，则 
. 令
，则点P的横坐标
，代入椭圆方程
，解得，点P的纵坐标
. 而
，于是，在Rt△PF1F2中，应用勾股定理，得
.应选C.
点评 请读者自己画出图形. 当然，不必画图，图在心中也能解题.
例３ 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
讲解 易知抛物线
的准线
与x轴的交点为Q (-2 ,
0)，于是，可设过点Q (-2
, 0)的直线
的方程为
，
联立
其判别式为
，可解得 
，应选C.
点评 对斜率取特殊值也可巧解；如果画图形，可以看出答案吗？.
例４ 设双曲线
与直线
相交于两个不同的点A、B.
（１）
双曲线C的离心率
的取值范围；
（２）
直线与轴的交点为，且
，求的值.
讲解：（１）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
双曲线的离心率
（２）设
由于x1+x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
点评 本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力．
例５ 某人承揽一项业务：需做文字标牌2个，绘画标牌3个。现有两种规格的原料，甲种规格每张3
,可做文字标牌1个、绘画标牌2个；乙种规格每张2,可做文字标牌2个、绘画标牌1个．求这两种规格的原料用多少张才能使总的用料面积最小？
讲解 设用甲种规格原料x 张，乙种规格原料y张，则可做文字标牌x+2y个，绘画标牌2x+y个．由题意可得
，
所用原材料的总面积
，作出可行域如图示阴影部分内的整点，作直线
，作一组与直线
平行的直线
．
当直线
通过2x+y=3与直线x+2y=2的交点
时，t取得最小值
因为
不是整点，所以它不是最优解．当
时，
可知当
时，
代入约束条件，可得
，即经过可行域内的整点，点B（1，1）满足3x+2y=5，使t最小，所以最优解为B（1，1）．
故用甲种规格的原料1张，乙种规格的原料1张，能使总的用料面积最小，其最小值是5
．
点评 求整点最优解时，可先转化为普通线性规划求解．若所求得的最优解不是整点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解．因为在考试时，常需要作出一些图形，而要解决作图的准确性问题，就必须抓住图形中的一些关键点和图形的变化趋势．只有抓住了局部的关键点，也就带动了整体的图形状态．
例６ 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
讲解 （1）设
．由
得 
．
（2） 1) 当k存在时，设l的方程为 
………………①
椭圆方程为
．
由
得 
．
于是椭圆方程可化为 
………………②
把①代入②，得
，
整理得
，
则x1、x2是上述方程的两根，且
，
．
AB边上的高
．
２）当k不存在时，把直线
代入椭圆方程，得
由①②知S的最大值为
．由题意得
=12 所以
，
．
所以面积最大时椭圆方程为：
点评 也可这样求解：
．
例７ 经过抛物线y
的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点．
（１） 线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；
（２） 直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为
，试确定m的取值范围．
讲解 (1) 设A(
直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入
得
kx-(2k+4)x+k=0．
设M(x ,y)，则
∴点M的坐标为(
．
于是消去k，可得M的轨迹方程为
．
(2) 由于
d=
所以
即
0＜
＜, 得
0＜
,
即 
或 
故实数
的取值范围为 
．
点评 圆锥曲线的焦点弦问题是历年高考的热门话题，解答过程当中有一些需要我们掌握的技巧和方法，应当引起读者深刻的反思．
例８ 已知动点与双曲线
的两个焦点
、
的距离之和为定值，且
的最小值为
．
（１）求动点的轨迹方程；
（２）若已知
，、
在动点的轨迹上且
，求实数
的取值范围．
讲解 (１)由题意
．设
（
），由余弦定理, 得
．
又
·
，
当且仅当
时，·
取最大值，
此时取最小值
，令
，
解得
，
，∴
，
故所求的轨迹方程为
.
（２）设
，
，则由，可得
，
故
.
∵、在动点的轨迹上，
且
，
消去
可得
，解得
，
又
，∴
，解得
，
故实数的取值范围是
．
点评 为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等．新教材的高考已经进行了５年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性．
l 针对性演练
1．直线
与直线
平行且不重合，则a等于（ ）
A
B 
C 0或
D． 0或
２．椭圆的焦点为
，过点
作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为
，
的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）
A 
B 
C 
D 
３．若P为抛物线
上任意一点，以P为圆心且与轴相切的圆必过定点M，则点M的坐标是（ ）．
A 
B
C 
D 
４．已知抛物线
的焦点为，过
作两条互相垂直的弦
、
，设、的中点分别为
.
（１） 求证：直线
必过定点;
（２）分别以和为直径作圆，求两圆相交弦中点
的轨迹方程．
５．设是单位圆
的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点
的切线分别交于
两点. 四边形
的对角线
和
的交点为
，求的轨迹．
6.
椭圆的两焦点分别为
、
，直线
是椭圆的一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且
，求
的最大值和最小值．
7. 在△ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12．以
为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy．
（1）证明存在两个定点E、F，使得BE+BF为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹Γ；
（2）设P为轨迹Γ上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足
，经过点A且以
为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得
为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由？
８．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为
和
，且满足·=t (t≠0且t≠－1).
（１）求动点P的轨迹C的方程；
（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，
求t的取值范围．
答案
１．D ２．B ３．A
４．（１）由题可知
，设
，
，直线AB的方程为
，
则
（1）—（2）得
，即
，代入方程，解得
同理可得：的坐标为
.
直线的斜率为
，方程为
，
整理得
,
显然，不论为何值，
均满足方程，
所以直线恒过定点
.
（２）过
作准线
的垂线，垂足分别为
. 由抛物线的性质不难知道：准线为圆与圆的公切线.
设两圆的相交弦交公切线于点，则由平面几何的知识可知：为
的中点. 所以
，
即 
.
又因为公共弦必与两圆的连心线垂直，所以公共弦的斜率为
,
所以，公共弦所在直线的方程为 
,
即 
,
所以公共弦恒过原点.
根据平面几何的知识知道：公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点，所以原点、定点、所求点构成以为直角顶点的直角三角形，即在以
为直径的圆上．
５．以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为
设 N的坐标为
，则切线DC的方程为：
，
由此可得
AC的方程为
BD的方程为
将两式相乘得：
，即
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（
）．
6. （１）设椭圆的方程为
，则由
，椭圆方程为
．
（２）因为在椭圆上，故
．
由平面几何知识
，即
，所以
．
记
，设
且
，则
，
所以在
上单调递减，于是，当
时原式取最大值
，当
时，原式取最小值
．
7.（1）由sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，得
a+c=2b，且a>b>c．
因a+b+c=12，故a+c=8，即BC+BA=8为定值．
注意到8>AC=4，且BC>BA，
故B的轨迹是以A、C为焦点，8为长轴长，在y轴左侧且除去顶点的椭圆的一部分．
并且存在定点E、F，它们分别为A、C，从而它们的坐标分别为（-2，0），（2，0）．
（2）如图所示，不妨取
，则以PMN为顶点可作出一个菱形PMTN，于是
，
，且
，从而PQ为∠APC的外角∠SPA的平分线．过A且以为方向向量的直线AS⊥PQ．
从而
，于是只须取AC的中点为D（O），即有=4为定值．故存在定点D，而为定值．
８．(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得
=ty2=t(x2－4)
+
=1
轨迹C的方程为+=1（x≠
2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
设
=r1，
= r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，
=2c=4
,
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，
得4c2=r
+r
－2r1r2
= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(
)2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,
在△F1PF2中， =2c=4
.
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得
4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2,
∴16（－1－t）≥－12tt≤－4.
所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
.