阜阳十中数学专题之函数、导数、不等式
供稿人： 李早生 2006-3-6
1. 设函数
的图象与
的图象关于直线
对称，
那么
值等于 B
（A）－1 （B）－2 （C）
（D）
2. 一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：C
A．
B．
C．
D．
3. 已知
，当
R时，
恒为正值，则
的取值范围是
（ B ）
4. 方程
有一个负根且无正根，则
的取值范围是
（ D ）
≤
≥
5. 
≤
的解集是
，则的取值范围是
（ A ）
6. 已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则为f：x→y=x2+2x+3，若对实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是B
A、(－∞，0) B、(－∞，2) C、(2，+∞) D、(3，+∞)
7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)=－f(x+2)，当0≤x≤1时，
，那么使
成立的x的值为D
A、2n（n∈Z） B、2n－1（n∈Z）
C、4n+1（n∈Z） D、4n－1（n∈Z）
8. 若不等式
＞在
上有解,则的取值范围是（ B ）
A． 
B. 
C． 
D．
9. 已知
是偶函数，则函数
的图象的对称轴是（ D ）
A．
B．
C．
D．
10. 已知函数
满足
且
∈[－1，1]时，
，则方程
解的个数是C：
A．4 B. 6 C.8 D. 10
11. 已知多项式16x4+32x3+24x2+8x+1能被5整除，则满足条件的最小自然数x的值为（ C ）
A. 7 B. 4 C. 2 D. 1
12. 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台），若小棱锥的体积为y，棱台的体积为x，则y关于x的函数图象大致形状为（C ）。
13. 已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图象关于y轴对称.
②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.
③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图象关于直线 
对称.
④若f(x-2)=f(2-x)，则y=f(x)关于直线x=2对称.
⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图象关于x=2对称.
其中正确的命题序号是( C )
A、①②④ B、①③④ C、②③⑤ D、②③④
14. 已知关于x的方程
没有实数解,则实数m的取值范围是 C
(A)
(B) 
(C) 或 
(D)
15. 给定实数，定义
为不大于的最大整数，则下列结论不正确的是(A)
A．
B．
C．
是周期函数 D．是偶函数
7. 如图，点P在边长为1的正方形ABCD边上运动，设点M是CD边的中点，点P沿A®B®C®M运动时，点Ｐ经过的路程记为x，△APM的面积为y，则函数y=f(x)的图象只可能是（ A ）.
8. 方程
有五个不相等的实数根，则这五根之和为（C ）.
5 10
－5
－10
9. 方程有一个负根且无正根，则的取值范围是
（ D ）
≤ ≥
10. ≤的解集是，则的取值范围是
（
A ）
11. 设
、
分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当
,
且
，则不等式
的解集是 （ D
）
A．
B．
C．
D．
12. 设函数
区间
，
则使M=N成立的实数对（a，b），有 （ A ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个
13.已知函数f1(x)=x, f2(x)=
,f3(x)=4-x,函数g(x)取f1(x)、f2(x)、f3(x)中的最小值，则函数g(x)的最大值是 1
14. 已知函数
．给下列命题：①必是偶函数；②当
时，的图像必关于直线x＝1对称；③若
，则在区间[a，＋∞
上是增函数；④有最大值
．
其中正确的序号是__③
15. 设函数f(x)=lg(x2+ax－a－1)，给出下列命题：
①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R；
③当a>0时，f(x)在区间[2，
上有反函数；
④若f(x)在区间[2，上单调递增，则实数a的取值范围是a≥－4，
则其中正确的命题是_____②③（把正确命题的序号都填上）。
16. 如右图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n，
（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行
（n≥2）第2个数是
13. 已知二次函数f（x）= x2－3x + p－1，若在区间[0，1]内至少存在一个实数c，
使f（c）＞0，则实数p的取值范围是__ （1，+∞）
14. 已知函数
.给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②f(0)= f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；③若
，则f(x)在区间
上是增函数；
④f(x)有最小值
.
其中正确命题的序号是.③ .
15. 若直线y=2a与函数y=ax-1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_ 
______.
17. 已知函数
的定义域为
，值域为
．试求函数
（
）的最小正周期和最值
解： 
……2’
…………………………4’
当
＞0时，
，
解得
，………………………………………………………………6’
从而，
，
T=
，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’
当m＜0时， 解得
，………………………………………………10’
从而，
，T=，最大值为
，
最小值为
．……………………………………………………………………12
19. 已知函数：
．
（1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f(x)的定义域为[a+
,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；
（3）设函数g(x)=x2+(x－a)f(x) ,求g(x) 的最小值
解（1）证明：
．
∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’
（2）证明：
当
，
，
，
，
∴
．
即
．………………………………………………………………8’
（3）
①当
．
如果
即
时，则函数在
上单调递增，
∴
．
如果
．
当
时，
最小值不存在．……………………………………………………10’
②当
，
如果
．
如果
．
当
．
．……………………………………………12’
综合得：当
时， g（x）最小值是
；当
时， g（x）最小值是
；当
时， g（x）最小值为
；当时， g（x）最小值不存在．
18.在△ABC中，已知
.（I）若任意交换
的位置，
的值是否会发生变化?试证明你的结论； （II）求的最大值.
解：（I）∵ 
，
∴ 任意交换的位置，的值不会发生变化．
（II）将看作是关于
的二次函数.
.
所以，当
，且
取到最大值1时，也即
时，取得最大值
．
也可有如下简单解法：
19.已知偶函数f (x)，对任意x1，x2∈R，恒有：
．
（1）求f (0)，f (1)，f (2)的值；
（2）求f (x)；
（3）判断
在（0，+∞）上的单调性
解：（1） f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；
（2）
，
又
，f (0) = -1，故
；
（3）
．用定义可证明
在［，+∞）上是增函数，
在（0，］上为减函数
20.已知函数f(x)=x4－4x3+ax2－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2）上单调递减.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若点A（x0,f(x0)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx2－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.
解：（Ⅰ）由函数f(x)=x4－4x3+ax2－1，在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减，
∴x=1时，f(x)取得极大值，∴f′(1)=0. 2分
f′(x)=4x3－12x2+2ax, ∴4－12+2a=0
a=4. 4分
(Ⅱ)点A（x0,f(x0)）关于x=1的对称点B坐标为（2－x0,f(x0)）, 6分
f(2－x0)=(2－x0)4－4(2－x0)3+4(2－x0)2－1=(2－x0)2［(2－x0)－2］2－1
=x04－4x03+4x02－1=f(x0). 8分
∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上. 9分
（Ⅲ）函数g(x)=bx2－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程x4－4x3+4x2－1=bx2－1恰有3个不等实根， 10分
x4－4x3+4x2－1=bx2－1x4－4x3+(4－b)x2=0.
∵x=0是其中一个根，
∴方程x2－4x+(4－b)=0有两个非0不等实根. 12分
∴
∴b＞0且b≠4. 14分
22.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：-
＜a＜
若x∈［0,1］,函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论｜k｜≤1的充要条件
解：（1）设任意不同的两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2),且x1≠x2
则
＜1
(1分)
∴
＜1
即-x12-x1x2-x22+a(x1+x2)＜1
∴-x12+(a-x2)x1-x22+ax2-1＜0 (3分)
∵x1∈R
∴Δ=(a-x2)2+4(-x22+ax2-1)＜0
即-3x22+2ax2+a2-4＜0
∴-3(x2-
)2+
+a2-4＜0
∴
a2-4＜0,∴-＜a＜
(6分)
（2）当x∈［0,1］时，k=f′(x)=-3x2+2ax(7分)
由题意知：-1≤-3x2+2ax≤1,x∈［0,1］
即对于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等价于｜f′（0）｜，｜f′(1)｜，
｜f′()｜的值满足
或
或
(11分)
即
或 
或 
∴1≤a≤
即｜k｜≤1的充要条件是1≤a≤
17. 已知函数的定义域为，值域为．试求函数（）的最小正周期和最值
解： ……2’
…………………………4’
当＞0时，，
解得，………………………………………………………………6’
从而， ，
T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’
当m＜0时， 解得，………………………………………………10’
从而，，T=，最大值为，
最小值为．……………………………………………………………………12
19. 已知函数：．
（1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；
（3）设函数g(x)=x2+(x－a)f(x) ,求g(x) 的最小值 ．
解（1）证明：
．
∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’
（2）证明：
当，，
，，
∴．
即．………………………………………………………………8’
（3）
①当．
如果 即时，则函数在上单调递增，
∴ ．
如果．
当时，最小值不存在．……………………………………………………10’
②当 ，
如果．
如果．
当．
．……………………………………………12’
综合得：当时， g（x）最小值是；当时， g（x）最小值是 ；当时， g（x）最小值为；当时， g（x）最小值不存在．
20. 已知集合
，试问集合A与B共有几个相同的元素，并写出由这些“相同元素”组成的集合.
解：因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以A、B有两个公共元素，由这些“相同元素”组成的集合是{1，9}.
21. 设关于x的一元二次方程2x2－ax－2=0的两根的α、β(α<β)，函数f(x)＝
⑴求f(α)·f(β)的值；⑵证明f(x)是[α,β]的增函数；
（3）当a为何值时，f(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小？
解：⑴ f(α)f(β)＝－4
⑵设α≤x1<x2≤β，f(x1)－f(x2)＝
17. 已知函数的定义域为，值域为．试求函数（）的最小正周期和最值
解： ……2’
…………………………4’
当＞0时，，
解得，………………………………………………………………6’
从而， ，
T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’
当m＜0时， 解得，………………………………………………10’
从而，，T=，最大值为，
最小值为．……………………………………………………………………12