高三数学综合测试题

高三数学综合测试题（38）

1．设集合，下列图中能表示从集合A到集合B的映

　 射的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ D　　）

2．设p、q为简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的　　　　　　　　　　　　 （B ）

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B．必要不充分条件

　　　 C．充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

3．已知函数的反函数为，则的值为　　　　　　　　　　　 （　A　）

　　　 A．－1　　　　　　　　　　B．0　　　　　　　　　　　　C．1　　　　　　　　　　　　D．4

4．已知点A（2，1），B（0，2），C（－2，1），O（0，0）. 给出下面四个结论：

　　　 ①直线OC与直线BA平行；②；③；

　　　 ④，其中正确结论的个数是　　　　　　　　　　　（　C　）

　　　 A．1个　　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　 D．4个

5．设，则　　　　　　　　　　　　　 （A ）

　　　 A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．

6．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当

　 ，，则的值为　　　　　　　　　　　　 （　 D　）

　　　 A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

7．若关于的不等式的实数解，则实数的取值范围是YCY　（　D　）

　　　 A．（－3，3）　　　　 B．（－∞，－3）　 C．（－3，3　　　　　D．（－∞，3）

8．已知两直线和，设与轴相交于A点，与相交于B

　 点，与y轴相交于C点，O为原点，若O、A、B、C四点共圆，则直线的斜率为（A Y）

　　　 A．3　　　　　　　　　　　　B．－3　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．－

9．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是

　　　A．　　　　　 B．　　 C．　　　　　D．（　B  ）

8 1 6 3 5 7 4 9 2

10．将n²个正数1，2，3，……，n²填入n×n方格中，使得每行、每列、

　　　 每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记

　　　 为n阶幻方对角线上数字之和，如：如图就是一个3阶幻方，

　　　 可知=15，那么=（　C  ）

　　　 A．32　　　　　　　　　　　B．33　　　　　　　　　　　C．34　　　　　　　　　　　D．35

11．若点P分有向线段的比为，则点P₁分有向线段所成的比为　1　　.

12．曲线在点（1，－1）处的切线方程为　　　 　　　　　.

13．已知函数，对于任意的实数、，均有

　　　 且，则=

　　　　 1　　　.

14．已知函数的前n项和，则=　　68；　　　 .

15．在函数中，若a、b、c成等比数列，且，则有最

　　　 　　 大，　　值（填“大”或“小”），且该值等于　　－3.　　 .

16．　　　　　　　　　　　　　　　 已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（），且

　 （1）求的值；

　 （2）若函数的图像按向量平移后对应的函数为偶函数，

　　　　且为最小，求实数m的值.

解（1），

　　　 ……6分

　 （2）易知按向量平移后，函数的解析式为，

由为偶函数，

故有……………

17．　　　　　　　　　　　　　　　 已知函数，其中a为实常数.

　 （1）若，求在区间[－2，2]上的最大值和最小值；

　 （2）若上单调递增，求a的取值范围.

解：（1），

　　　 令

　　　 此时

　　　 即得…………………………3分

　　　 比较、、、得在[－2，2]上的最大值和最小值为

　　　 ………………6分

　 （2）恒成立，且不恒为0

　　　 令，的取值范围是…

18．

如图所示，在一个木制的棱长为3的正方体表面涂上颜色，将它的

棱三等分，然后从每个等分点把正方体锯开，得到27个棱长为1的小正

方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋中.

　 （1）从这个口袋中任意取出1个小正方体，这个小正方体的表面恰

　　　　好没有颜色的概率为多少？

　 （2）从这个口袋中同时任意取出2个小正方体，其中一个小正方体

　　　　恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜

　　　　色的概率为多少？

解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂有颜色的共有8个，恰好有两个面都涂有颜色的共有12个，恰好有一个面都涂有颜色的共有6个，表面没涂颜色的1个……4分

　 （1）记“从这个口袋中任意取1个小正方体，这个小正方体的表面恰好没有颜色”为

　 　事件A，则P（A）=…………………………8分

　 （2）从27个小正方体中同时任意取2个小正方体，共有种等可能的结果。这些结果

　　　 中，有一个小正方体恰好有1个面涂颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色有

　　　 种。所以从27个小正方体中同时任意取出2个小正方体，有一个小正方

　　　 体恰好有1个面涂有颜色，另一个小正方体至少有2个面涂有颜色概率为

…………

19．　　　　　　　　　　　　　　　 如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E 为AB的中点.

　 （1）求异面直线BD₁与A₁E所成角的余弦值；

　 （2）求二面角A₁—EC—A的大小.

解：（1）设正方体的棱长为1，延长DC至G，使，连结BG、D₁G.

=

　　　 ∵CG∥FB， ∴四边形EBGC是平行四边形.

　　　 ∴BG∥EC.　∴∠D₁BG就是异面直线BD₁与

　　　 CE所成的角.………………2分

　　　 在△D₁BG中D₁B=，

　　　

　　　 ∴cos∠D₁BG=

　　　 即异面直线BD₁与CE所成角的余弦值是……………………7分

　 （2）过A₁作A₁H⊥CE交CE的延长线于H. 连结AH. ∵AA₁⊥平面ABCD，

　　　 ∴AH是A₁H在平面ABCD内的射影. ∴AB⊥CH.

　　　 则∠A₁HA为二面角A₁—EC—D的平面角.………………9分

　　　 底面ABCD如 图所示.

　　　 由于∠AHE=∠B=90°，∠AEH=∠CEB，则△AHE∽△CBE.

　　　 ……12分

　　　 在Rt△A₁AH中，A₁A=1，AH=.　

　　　 则二面角A₁—EC—D的大小为arctg……………………14分

　　　 注：其他方法参照此标准给分

20． 已知函数，点在函数图像上，且，

　 （1）求数列的通项公式；

　 （2）设，数列的前n项和为S_n，求证：

（1）　　  由已知：是公差为1、首项为的等差数列.……（2分）

　　　，………………………………（3分）

　　　 ，……………………………………（4分）

　　　 …………（7分）

　 （2），………………（10分）

　　　

……………………………（12分）

　　　 …………………………………………………（14分）