第二章 函数
2.1 映射与函数、函数的解析式
一、选择题：
1．设集合
，
，则下述对应法则
中，不能构成A到B的映射的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
的定义域为[－1，2]，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．[－1，2] C．[－1，5] D．
3，设函数
，则
=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
4．下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知映射：
，其中，集合
集合B中的元素都是A中元素在映射下的象，且对任意的
在B 中和它对应的元素是
，则集合B中元素的个数是( )
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
6．有下述对应：
①集合A=R，B=Z，对应法则是
，其中
，
.
②集合A和B都是正整数集N*，对应法则是
，，.
③集合
，对应法则是
.
④集合
是三角形}，
，对应法则是
的面积.
则其中是集合A到集合B的映射的是 ，是集合A到集合B的一一映射的是
7．已知定义在
的函数
若
，则实数
8．已知是二次函数，且满足
.
9．已知
是常数，
），且
（常数），
（1）求
的值； （2）若
、b的值.
10．如图，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切，记其中一个圆的半径为x，两圆的面积之和为S，将S表示为x的函数，求函数
的解析式及的值域.
2.2函数的定义域和值域
1．已知函数
的定义域为M，f[f(x)]的定义域为N，则M∩N=
.
2.如果f(x)的定义域为(0,1)，
，那么函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域为
.
3. 函数y=x2-2x+a在[0,3]上的最小值是4，则a= ；若最大值是4，则a= .
4．已知函数f(x)=3-4x-2x2,则下列结论不正确的是（ ）
A．在（-∞，+∞）内有最大值5，无最小值 B．在[-3，2]内的最大值是5，最小值是-13
C．在[1，2）内有最大值-3，最小值-13 D．在[0，+∞）内有最大值3，无最小值
5．已知函数
的值域分别是集合P、Q，则（ ）
A．p
Q B．P=Q C．P
Q D．以上答案都不对
6．若函数
的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
的值域是（ ）
A．[0，2] B．[1，2] C．[－2，2] D．[－，]
8.若函数
的定义域是( )
A．
B．
C．
D．[3,+∞
9．求下列函数的定义域：
①
②
③
10．求下列函数的值域：
①
②y=x+5+x-6 ③
④
⑤
11．设函数
.
（Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求的值域；
（Ⅱ）若定义域限制为
时，的值域为
，求a的值.
12．若函数
的值域为[－2，2]，求a的值.
2.3函数的单调性
1．下述函数中，在
上为增函数的是（ ）
A．y=x2－2 B．y=
C．y=
D．
2．下述函数中，单调递增区间是
的是（ ）
A．y=－
B．y=－(x－1) C．y=x2－2 D．y=－x
3．函数
上是（ ）
A．增函数 B．既不是增函数也不是减函数 C．减函数 D．既是减函数也是增函数
4．若函数f(x)是区间[a,b]上的增函数，也是区间[b,c]上的增函数，则函数f(x)在区间[a,b]上是（ ）
A．增函数 B．是增函数或减函数 C．是减函数 D．未必是增函数或减函数
5．已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )
A.在区间（-1，0）上单调递减 B.在区间（0，1）上单调递减
C.在区间（-2，0）上单调递减 D在区间（0，2）上单调递减
6．设函数
上是单调递增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．a<-1或a>1 D．a>－2
7．函数
时是增函数，则m的取值范围是（ ）
A． [－8，+∞） B．[8，+∞） C．（－∞，－ 8] D．（－∞，8]
8．如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(4-t)=f(t),那么（ ）
A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4) C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1)
9．若函数
的单调递减区间是
，则实数a的值为
.
10．若a>0，求函数
的单调区间.
11．设函数
，
（I）求证：当且仅当a≥1时，f(x)在
内为单调函数；
（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间
上是增函数.
2.4 函数的奇偶性
1．若
是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数或偶函数 D．非奇非偶函数
2．设f(x)为定义域在R上的偶函数，且f(x)在
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如果f(x)是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．以上关系均不成立
4．函数f(x)、f(x+2)均为偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)是减函数，设
b= f(7.5)，c= f(－5)，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a> c > b C．b>a> c D．c> a>b
5．下列4个函数中：①y=3x－1，②
③
，
④
其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）
A．① B．②③ C．①③ D．①④
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并满足：
，当2≤x≤3，f(x)=x，则f(5.5)=（ ）
A．5.5 B．－5.5 C．－2.5 D．2.5
7．设偶函数f(x)在上为减函数，则不等式f(x)> f(2x+1)
的解集是
8．已知f(x)与g(x)的定义域都是{xx∈R，且x≠±1}，若f(x)是偶函数，g(x)是奇函 数，且f(x)+ g(x)=
，则f(x)=
，g(x)=
.
9．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f(x)是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f(－3)=0，则不等式
<0的解集是
.
10．设定义在R上的偶函数f(x)又是周期为4的周期函数，且当x∈[－2，0]时f(x)为增函数，若f(－2)≥0，求证：当x∈[4，6]时， f(x)为减函数.
11．设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，
且满足f(－a2+2a－5)<f(2a2+a+1), 求实数a的取值范围.
2.5 反函数
1、下列函数中，有反函数的是（ ）
A．y =3
+
B．y =
C．y =
D．y= 
2、设点(a，b)在函数y=f(x)的图象上，那么y= f－1(x)的图象上一定有点（ ）
A．(a, f －1(a) ) B．(f －1(b)，b) C．( f －1(a)，a) D．(b, f －1(b))
3、若f(x－1)= x2－2x+3 (x≤1)，则f－1(4)等于（ ）
A． B．1－ C．－ D．－2
4、与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（ ）
A．y=－f(x) B．y= f －1(x) C．y =－f －1(x) D．y =－f －1(－x)
5、函数f(x)=
+2 (x≥1)的反函数是（ ）
A．y= (x－2)2+1 (x∈R) B．x= (y－2)2+1 (x∈R)
C．y= (x－2)2+1 (x≥2) D．y=(x－2)2+1 (x≥1)
6．函数
有反函数
，将的图象绕原点顺时针方向旋转90°后得到另一个函数的图象，则得到的这个函数是（ ）
A． B．
C．
D．
7．若点（4，3）既在函数
的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式
8、 若函数f(x)存在反函数f－1(x)，则f－1(f(x))=____ ； f(f－1(x))=______.
9．关于反函数给出下述命题：
①
若为奇函数，则一定有反函数.
②
函数有反函数的充要条件是是单调函数.
③
若的反函数是
，则函数一定有反函数，且它的反函数是
④
设函数的反函数为，若点P（a，b）在的图象上，则点
一定在的图象上.
⑤若两个函数的图象关于直线
对称，则这两个函数一定互为反函数.
则其中错误的命题是
10、己知f(x)=
(x≥1)
①求f(x)的反函数f －1(x)，并求出反函数的定义域； ②判断并证明f －1(x)的单调性.
11．已知函数
存在反函数
，
（1）若
是奇函数，讨论的奇偶性；
（2）若在定义域上是增函数，讨论的单调性．
2.6 .指数式与对数式
1．若
N*，则
（ ）
A．2 B．
C．
D．
2．若
，则
（ ）
A．4 B．16 C．256 D．81
3. 已知2lg(x－2y)=lgx+lgy，则
的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．4 或-1
4．已知
，
，
，则
的值分别为（ ）
A．
，
B．，
C．
，
D．，
5．设
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不确定
6．计算：
_____________
7．计算：
=
.
8．已知
，
，则
用 a, b
表示为
.
9．计算
.
10．已知
的值.
2.7 .指数函数与对数函数
1．当
时，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，其中
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的定义域为[1，2]，则函数
的定义域为（ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]
4．若函数
上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[9，12] B．[4，12] C．[4，27] D．[9，27]
5．若
≥
，则（ ）
A．
≥0 B．
≥0 C．≤0 D．≤0
6．若定义在(—1，0)内的函数
满足
＞0，则a的取值范围是
7．若
，则实数k的取值范围是
.
8．已知函数
的值域为R，则实数a的取值范围是
.
9．已知函数
，
（1）求
的定义域；
（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？
（3）当a、b满足什么条件时恰在
取正值.
10．求函数
的值域.
11．在函数
的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为
、
、
，若△ABC的面积为S，求函数
的值域.
12．已知函数
（1）讨论的奇偶性与单调性；
（2）若不等式
的解集为
的值；
（3）求的反函数
；
（4）若
，解关于
的不等式
R）.
2.8 .二次函数
1．设函数
R）的最小值为m（a），当m（a）有最大值时a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
（k为实数）的两个实数根，则
的最大值为（ ）
A．19 B．18 C．
D．不存在
3．设函数
，对任意实数t都有
成立，则函数值
中，最小的一个不可能是（ ）
A．f(－1) B．f(1) C．f(2) D．f(5)
4．设二次函数f(x)，对x∈R有
=25，其图象与x轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f(x)的解析式为
5．已知二次函数
在区间[－3，2]上的最大值为4，则a的值为
6．一元二次方程
的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是
7．已知二次函数
R）满足
且对任意实数x都有
的解析式.
8．a>0，当
时，函数
的最小值是－1，最大值是1.
求使函数取得最大值和最小值时相应的x的值.
9．已知
在区间[0，1]上的最大值是－5，求a的值.
10．函数
是定义在R上的奇函数，当
，
（Ⅰ）求x<0时的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当
的值域为
？若存在，
求出所有的a，b的值；若不存在，说明理由.
11．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用
左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示。
（Ⅰ）写出左图表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出右图表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大.
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
2.9 .函数的图象
1．函数
的图象，可由
的图象经过下述变换得到（ ）
A．向左平移6个单位
B．向右平移6个单位
C．向左平移3个单位
D．向右平移3个单位
2．设函数与函数
的图象如右图所示，则函数
的图象可能是下面的（ ）
 |
3．已知
函数
的图象与函数与
的图象关于直线对称，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，点P在边长的1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，当P沿A→B→C→M运动时，以点P经过的路程
为自变量，
的面积为
，则函数
的图象大致是（ ）
5．已知函数
给出下列四个命题：①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线
对称； ③函数在定义域内单调递减；④将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数
重合. 则其中正确命题的序号是
6．设函数的定义域为R，则下列命题中：
①若为偶函数，则
的图象关于
轴对称；
②若为偶函数，则的图象关于直线
对称；
③若
，则的图象关于直线对称；
④函数
与函数
的图象关于直线对称.
则其中正确命题的序号是
7．作出下述函数图象：
（1）
（2）
（3）
8．指出函数
与
、
为常数）的对称性，并证明你的结论.
9．设
作出下述函数的图象：
（1）
； （2）
10．为何值时，直线
与曲线
有两个公共点？有一个公共点？无公共点？
11．设函数
的图象为
、关于点A（2，1）的对称的图象为
，对应的函数为， （Ⅰ）求函数的解析式，并确定其定义域；
（Ⅱ）若直线
与只有一个交点，求
的值，并求出交点的坐标.
2.10 函数的综合应用
1．某商品零售价2002年比2000年上涨了25%，欲控制2003年比2000年只上涨10%，则2003年应比2002年降价（ ）
A．15% B．12% C．10% D．5%
2．某物体一天中的温度T是时间t的函数
，时间单位是小时，温度单位为摄氏度，t=0表示中午12：00，其后t取值为正，则下午3时的温度为（ ）摄氏度.
A．8 B．18 C．78 D．112
3．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代收，某人在1999年11月存入人民币1万元，存期一年，年利率为2.25%，则到期可净得到的本金和利息共计（ ）
A．10225元 B．10180元 C．11800元 D．12250元
4．水箱中有水20m3，如果打开出水孔，水箱中的水5分钟可以流完，当打开出水孔时，水箱中的水的剩余量
是时间t（秒）的函数，则函数
的解析式是
5．按国家统计局资料，到1989年初，我国大陆人口总数达到11亿，人口自然增长率约为14%，按此自然增长率计算，我国大陆人口达到13亿时是 年初（填写年号），（用下面数据帮助计算：lg13=1.1139，lg11=1.0414，lg1.14=0.0060）
三、解答题：
6．（理科）A、B两镇相距50公里，A镇位于一直线形河岸旁，B镇离河岸的距离BD=30公里. 两镇准备在河岸C处合建一个水厂，从水厂C到A、B两镇的水管费用每公里分别为500元和1000元，问水厂C应建在何处才能使水管总费用最省，并求出最小水管总费用.
7．有两个煤矿用汽车供应三个城镇的用煤，第一个煤矿月产煤120万吨，第二个煤矿月产煤200万吨. 第一个城镇每月用煤90万吨，第二个城镇每月用煤150万吨，第三个城镇每月用煤80万吨，又知第一个煤矿与三城镇的中心供应站的距离分别为20公里、10公里和12公里；第二个煤矿与三个城城镇的中心站的距离分别为8公里、16公里和30公里，问怎样调配煤才能使总的运输费用最少？
8．某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：
其中x是产品售出的数量，且
.（I）若x为年产量，y为利润，求的解析式；（II）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？
9．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的. 某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费. 若每月用水量不超过最低限量
时，只付基本费8元和每户的定额损耗费c元；若用水量超过时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每1m3付b元的超额费. 已知每户每月的定额损耗费c不超过5元. 该市某家庭今年一月份、二月份和三月份的用水量和支付的费用如下表所示：
| 月 份 | 用水量 | 水 费 |
| 一月份 | 9 | 9元 |
| 二月份 | 15 | 19元 |
| 三月份 | 22 | 33元 |
根据表格中的数据，求a、b、c.
10．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距
，水流速度为常数
，船在静水中的最大速度为
，已知轮船每小时的燃料费用与船在静水中的速度
的平方成正比，比例系数为常数k. （I）将全程燃料费用y（元）表示为静水中速度的函数；（II）为了使全程的燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？
第二章 函数单元测试卷
一、选择题：共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数y=
(x≥1)的反函数是（ ）
A、y=
B、y=
C、y= (x＞0) D、y=
2．函数
，
[0，3]的值域是（ ）
A、
B、[－1，3] C、[0，3] D、[－1，0]
3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时这种细菌由1个可繁殖成 ( )
A、511个 B、512个 C、1023个 D、1024个
4．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]＝3，[3.7]＝4， [3.1]＝4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 （ ）
A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77
5．已知
，那么
用
表示是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设0<<1，实数
满足
，则y关于x的函数的图像大致形状是（ ）
|
A B C D
7．不等式
的解集是（ ）
A．（0，1） B．（
1，1） C．
D．
8．关于的不等式
的解为（ ）
A．0<<2 B．0<<1 C．<2 D．>1
9．如果函数
对任意实数
，都有，则（ ）
A、
＜
＜
B、＜＜
C、＜＜ D、＜＜
10．已知
的反函数
的图像的对称中心是（－1，3），则实数a等于（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－4
11．集合
，映射
，使得对任意
，都有
是奇数，则这样的映射共有（ ）
A．60个 B．45个 C．27个 D．11个
12．已知定义在实数R上的函数不恒为零，同时满足
且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，满分16分，请把答案填在题中横线上.
13．若为函数
的反函数，则的值域是
.
14．函数
恒成立，则b的最小值是
.
15．老师给出一个函数y＝f(x)，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：
甲：对于x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)； 乙：在
上函数递减；
丙：在（0，＋∞）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值。
如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数 .
16．关于函数
，有下列命题：
①
函数y=的图像关于y轴对称； ② 当x>0时是增函数，当x<0时是减函数；
③
函数的最小值是lg2； ④
当x>1，时没有反函数。
其中正确命题的序号是 （注：把你认为正确的序号都填上）.
三、解答题：本题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（满分12分）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元. 根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件.
(Ⅰ) 设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数
的表达式；
(Ⅱ) 当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价－成本）
18．（满分12分）设定义在
上的函数满足下面三个条件：
（1）对于任意正实数a、b，都有
，其中p是正的实常数；
（2）
； （3）当
时，总有
.
（Ⅰ）求
的值（写成关于p的表达式）；（Ⅱ）求证：
上是减函数.
19．（满分12分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成. 每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置. 现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置。设加工G型装置的工人有人，他们加工完G型装置所需时间为，其余工人加工完H型装置所需时间为
（单位：小时，可以不是整数）. （Ⅰ）写出
解析式；（Ⅱ）比较与的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间的解析式；（Ⅲ）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
20．（满分12分）设函数
为奇函数，又
，且在
上递增。 ⑴求 、、
的值； ⑵当
时，讨论的单调性.
21．（满分12分）已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数。 当a， b∈[－1，1]，
且a+b≠0时，有
成立。（Ⅰ）判断函f(x)的的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f(1)=1，且f(x)≤m2－2bm+1对所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围。
22．（满分14分） 已知二次函数
中
均为实数，且满足
,对于任意实数x都有
，并且当
时有
成立。（Ⅰ）求f(1)的值； （Ⅱ）证明：
； （Ⅲ）当x∈[－2，2]且a+c取最小值时，函数
（m为实数）是单调函数，求证：
.
第二章 函数参考答案或解答过程
2.1 映射与函数、函数的解析式
1．D（提示：作出各选择支中的函数图象）. 2．C（提示：由
）. 3．B（提示：由内到外求出）.4．D（提示：考察每组中两个函数的对应法则与定义域）.5.A 6．①、③、④；③.（提示：对照“映射”、“一一映射”的定义）. 7．
（提示：由外到里，逐步求得k）.
8．设， 
+c
， 这是一个恒等式
.
9．（1）
，
上式是关于x的恒等式，
，
若
，
（2）
而
，代入上式得
，
解得
，不合，
.
10．设另一个圆的半径为y，则
， 
，
∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大，而另一圆半径最小，∴函数的定义域为
（注意定义域为闭区间） 
，∴函数的值域为
.
2.2函数的定义域和值域
1．
2．
3．5；1 4．C 5.C 6. D
7．A（提示：
，然后推得）. 8. B
9．①
②
③ 
10．①
②
③
④
⑤
11．
，∴对称轴为
，
（Ⅰ）
，∴的值域为
，即
；
（Ⅱ）
对称轴
，
， ∵区间
的中点为
，
（1）当
时，
，
不合）；
（2）当
时，
，
不合）；
综上，
.
12．
的判别式恒小于零，∴函数的定义域为R，∴原函数等价于
，
即
的解集为[－2，2]（其中包含y=1），
是方程
的根，
.
2.3函数的单调性
1．C 2．D 3.B 4.A
5.A 6.B 7.C 8.A 9．3 10．
（1）当a.>1时，对x∈（0，+∞）恒有
>0， ∴当a.>1时，f(x)在（0，+∞）上为增函数；
（2）当a=1时，f(x)在（0，1）及（1，+∞）都是增函数，且f(x)在x=1处连续，∴f(x)在（0，+∞）内为增函数；
（3）当0<a<1时，△>0，解方程x2+(2a－4)x+a2=0
11．（I）
，
①当
②当0<a<1时，由f′(x)<0,得
由f′(x)>0得
∴当0<a<1时，f(x)在
，为增函数，
∴当0<a<1时，f(x)在 上不是单调函数；
（另证）令f(x) =1
当0<a<1时，f(x)在 上存在两点x1=0 或
，使f(x1)= f(x2)=1，故f(x)不是单调函数.
综上，当且反当a≥1时，f(x)在上为单调函数.
（II）由（I）①知当a≥1时f(x)单调递减，不合； 由②知当f(x)在上单调递增等价于：
，即a的取值范围是
2.4 函数的奇偶性
1.A 2.A
3．A
4．A 5．C 6．D 7．x<－1或x>－
; 8．
; 9．(－3,0)∪（3，+∞）
10．[证明] 这是“抽象”函数问题，应熟练运用奇偶性、周期性、单调性的定义证明.
在[4，6]内任取x1、x2，设4≤x1<x2≤6,
12．∵为R上的偶函数，
∵在区间上单调递增，而偶函数图象关于y轴对称， ∴在区间（0，+∞）上单调递减，
∴实数a的取值范围是（－4，1）.
2.5 反函数
1.B 2.D
3.C 4.D 5.C 6．B（提示：作一个示意图，如令
）.7．
（提示：将（4，3）与（3，4）分别代入原函数解析式，不必求出反函数）. 8. x ，x 9．①、②（提示：奇函数不一定是单调函数；例如它不是单调函数（∵它有两个单调区间），但它是一一对应的，有反函数，∴②错）.
10①
即
，f－1（x）的定义域为
②设
所以f－1(x)在
上单调递增.
11．证明：（1）
是奇函数，定义域关于原点对称，的值域也关于原点对称。的定义域关于原点对称，设
，存在
使
，则
，
是奇函数，
，
，
，
所以也是奇函数．
（2）设
，且
，存在
，使
，
，由于在定义域上是增函数，所以
，即
，在定义域上也是单调增函数．
2.6 .幂、指数式与对数式
1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.12
7．解：原式
8．解：∵，∴
，∴
，
又∵，∴
， ∴
9．10 10．
，
，
，
而
，
.
2.7 .指数函数与对数函数
1.B 2.C 3.D 4.A
5.B 6．
7．
8．
9．（1）
，
又
，故函数的定义域是.
（2）问题的结论取决于的单调性，考察这个函数的单调性有三种方法：
①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方法①最好.
（解一）求导得：
，
，
，
在定义域内单调递增，故不存在所述两点；
（解二）任取
，则
，
，
即在定义域内单调递增，故不存在所述两点；
（3）
在
单调递增，∴命题等价于：
，
10．
，
（1）当
，即
时，
；
（2）当
，即
时，
上单调递减，
，
值域为
.
11．设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B1、C1，
，
令
，
，
的值域为
12．（1）
定义域为
为奇函数；
，求导得
，
①当
时，
在定义域内为增函数；
②当时，
在定义域内为减函数；
（2）①当时，∵在定义域内为增函数且为奇函数，
；
②当
在定义域内为减函数且为奇函数，
；
（3）
R）；
（4）
，
；①当
时，不等式解集为R；
②当
时，得
，不等式的解集为
；
③当
2.8 .二次函数
1.C 2.B
3.B 4．
； 5．－3或
； 6．－2<a<0；
7．由
∵对R，
而
，∴
8．∵a>0，∴f(x)对称轴
①当
②当
∴
.
综上，当
9．∵f(x)的对称轴为
①当
②当
③当
不合；
综上，
10．（Ⅰ）当
（Ⅱ）∵当
若存在这样的正数a，b，则当
∴f(x)在[a，b]内单调递减，
∴
是方程
的两正根，
11．（Ⅰ）
将（50，150）代入得
所以
（Ⅱ）设时刻t的纯收益为
①当
∴当t=50时
②当200
∴当t=300时取最大值87.5<100；故第50天时上市最好.
2.9 .函数的图象
1．D.（提示：变换顺序是
.
2．A.（提示：
为奇函数，且
时无定义，故只有A）.3．A.（提示：设
4．A.（提示：分三段分析 ）.
5．①、②、④.（提示：
只有③错，∵它有两个单调区间）. 6．②、④.
7．（1） （2） （3）
 |
8．
它的图象是由图象绕轴翻转，然后向右平移
个单位得到；而
的图象是由图象向左平移
个单位得到，可断定
与
的图象关于直线
对称. 证明：设
是
图象任意一点，
①，
设P关于直线
对称的点
代入①得
即
，
与的图象关于直线对称.
9．（1）
（2）
10．作出
的图象（如图半圆）与
的图象（如图平行的直线，将
代入
得
，将
代入得
，当与半圆相切于P时可求得
则①当
时，与曲线有两个公共点；
②当
或
时，有一个公共点；
③当
或
时，无公共点；
11．（Ⅰ）设
是
上任意一点，
① 设P关于A（2，1）对称的点为
代入①得
（Ⅱ）联立
或
（1）当
时得交点（3，0）； （2）当
时得交点（5，4）.
2.10 函数的综合应用
1．B 2．C 3．B 4．
5．2001年
6．
，则水管总费用
7．设第一个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为x、y、z万吨，∴第二个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为
万吨，又设每万吨煤运输1公里的费用为1，
故，第一个煤矿供应三个城镇的用煤量分别为0万吨、40万吨、80万吨，第二个煤矿供应三个镇的用煤量分别为90万吨、110万吨、0万吨时总运输费用最小.
8．（I）
，产品全部售出；当
时，产品只能售出500台，
故
（II）当
9．设每月水量为
，支付水费为y元；
则
，
将x=15，x=22分别代入②得b=2， 2a=c+19③，假设一月份用水量超过最低限量，即
代入②得
与③矛盾，
代入③得
10．（I）∵船在全程行驶的时间
（II）
当
①当
时，函数唯一的极小点在定义域
内，
取最小值，此时轮船的实际前进速度为
②当
时，函数在定义域内单调递减，
取最小值，此时轮船的实际前进速度为
函数单元测试参考答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | B | B | C | A | A | D | B | A | A | B | D |
二、填空题：13、
； 14、； 15、
等； 16、①③
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）当
时，P=60；当
时，P=60－0.02（
所以 
（Ⅱ）设销售商的一次订购是件时，工厂获得的利润为L元，则
当
时，L=5850. 因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获得的利润是5850元.
18．解：（1）取a=b=1，则
……2分
又
. 且.
得：
……5分
（2）设
则：
………8分 依
再依据当时，总有成立，可得
………10分
即
成立，故上是减函数。………12分
19．解：（Ⅰ）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为人，
人. 
即
……3分
（Ⅱ）
……4分 
当
；
当
……6分
……8分
（Ⅲ）完成总任务所用时间最少即求的最小值.
当
时，递减，
此时
当
时，递增，……10分
此时
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86，130或87，129。
20．解：⑴∵为奇函数，∴
，
∴=0或=1。而=0时=
，
矛盾 ∴=1，=1，=0
⑵由⑴
注意：第（2）小题理科同学可用导数来处理。
21、（Ⅰ）证明：设
∈[—1，1]，且
，在
中，令a=x1,b=—x2， 有
>0，∵x1<x2,∴x1－x2<0 又∵f(x)是奇数，∴f(－x2)=－f(x2)∴
>0 ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)< f(x2).
故f(x)在[－1，1]上为增函数……6分
（Ⅱ）解：∵f(1)=1 且f(x )在[－1，1]上为增函数，对x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)=1。
由题意，对所有的x∈[－1，1]，b∈[—1，1]，有f(x)≤m2－2bm+1恒成立，
应有m2－2bm+1≥1
m2－2bm≥0。
记g(b)=－2mb+m2，对所有的b∈[－1，1]，g(b)≥0成立.
只需g(b)在[－1，1]上的最小值不小于零……8分
若m＞0时，g(b)=－2mb+m2是减函数，故在 [－1，1]上，b=1时有最小值，
且[g(b)]最小值=g(1)=－2m+m2≥0m≥2；
若m=0时，g(b)=0，这时[g(b)]最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m<0时，g(b)=－2mb+m2是增函数，故在[－1，1]上，b=－1时有最小值，
且[g(b)]最小值=g(－1)=2m+m2≥0m≤－2.
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（－
，－2
∪{0}∪[2，+。
22．解：（Ⅰ）∵对于任意x∈R，都有f（x）—x≥0，且当x∈(0,2)时，
有f（x）≤(
)2·令x=1 ∴1≤f(1)≤(
)2.即f（1）=1.……4分
（Ⅱ）由a—b+c=0及f（1）=1.
有
可得b=a+c=
.……6分
又对任意x，f（x）—x≥ 0,即ax2—x+c≥0. ∴a＞0且△≤0.
即
—4ac≤0。解得ac≥
.……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a＞0,c＞0. a+c≥2
≥2·
=.……10分
a=c，
当且仅当
a+c=时等号成立。此时a=c=……11分
∴f(x)=x2+x+, F(x)=f(x)－mx=[x2+（2－4m）x+1]……12分
当x∈[－2,2]时，F(x)是单调的，所以F(x)的顶点一定在[－2,2]的外边.
∴
≥2 解得m≤－或m≥……14分