2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）设集合M={x x>1，P={x x2>1}，则下列关系中正确的是
（A）M＝P
（B）P
M （C）MP （ D）
（2）为了得到函数
的图象，只需把函数
上所有点
（A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
（B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
（C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
（3）“m=
”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的
（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）若
，且
，则向量
与
的夹角为
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°
（5）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是
（A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ
（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D）cos(α+β)<cosα＋cosβ
（7）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
（A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E
（C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC
（8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有
（A）
种
（B）
种 （C）
种 （D）
种
二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
（9）抛物线y2=4x的准线方程是 ；焦点坐标是 ．
（10）
的展开式中的常数项是
（用数字作答）
（11）函数
的定义域为
.
（12）在△ABC中，AC=
，∠A=45°，∠C=75°，则BC的长为
．
（13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)； ③
>0；④
.
当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .
（14）已知n次多项式
,
如果在一种算法中，计算
（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算
的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算
的值共需要
次运算．
下面给出一种减少运算次数的算法：
（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要
次运算．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题共12分）
已知
=2，求
（I）
的值； （II）
的值．
（16）（本小题共14分）
如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1；
（II）求证：AC 1//平面CDB1；
（III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．
（17）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）
的值.
（18）（本小题共13分）
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率
，
（I）甲恰好击中目标的2次的概率；
（II）乙至少击中目标2次的概率；
（III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
（19）（本小题共14分）
已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
（20）（本小题共14分）
如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学
（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）D （7）C （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）x=－1；(1, 0) （10）－20 （11）[－1, 2)∪(2, +∞)
（12）
（13）②③ （14）65；20
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共12分）
解：（I）∵ tan
=2, ∴ 
;
所以
=
；
（II）由(I), tanα=－
, 所以=
=
.
（16）（共14分）
（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点，∴ DE//AC1，
∵ DE
平面CDB1，AC1
平面CDB1，∴ AC1//平面CDB1；
（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，ED=AC 1=
，CD=AB=，CE=CB1=2，
∴ 
，
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值
.
（17）（共13分）
解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得
，
，
，
由
（n≥2），得
（n≥2），
又a2=
，所以an=
(n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为
；
（II）由（I）可知
是首项为，公比为
项数为n的等比数列，∴ =
.
（18）（共13分）
解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为
（II）乙至少击中目标2次的概率为
；
（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
=
.
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为
.
（19）（共14分）
解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
（20）（共14分）
解：（I）W1={(x, y) kx<y<－kx, x<0}，W2={(x, y) －kx<y<kx, x>0}，
（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得
, 即
，
由P(x, y)∈W，知k2x2－y2>0，
所以 
，即
,
所以动点P的轨迹C的方程为；
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由
，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△=
>0
设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则
, 
,
设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由
得
从而
，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．