全国统一考试数学及答案（北京卷.理）

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理工农医类）

　　　本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

　　　　　　　　　  第I卷（选择题共40分）

　注意事项：

　　　1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

　　　2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

　一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

　（1）设全集U=R，集合M={x x>1，P={x x²>1}，则下列关系中正确的是

　 （A）M＝P  （B）PM　（C）MP　（ D）

（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

　　（A）充分必要条件　　　　（B）充分而不必要条件

　　（C）必要而不充分条件　　（D）既不充分也不必要条件

　（3）若，且，则向量与的夹角为

　　（A）30°　 （B）60°　　 （C）120°　 （D）150°

　（4）从原点向圆 x²＋y²－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为

　　 （A）π　 （B）2π  　　（C）4π　　 （D）6π

（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是

　　（A）sin(α+β)>sinα+sinβ　　（B）sin(α+β)>cosα+cosβ

　　（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ　 （D）cos(α+β)<cosα＋cosβ

（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是

　　（A）BC//平面PDF　　　　　 （B）DF⊥平面PA E

　　（C）平面PDF⊥平面ABC　　（D）平面PAE⊥平面 ABC

（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

　　（A）　　  （B）　（C）　（D）　

 （8）函数f(x)=

（A）在上递增，在上递减

　　（B）在上递增，在上递减

　　（C）在上递增，在上递减

  （D）在上递增，在上递减

 二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

（9）若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为　　　　  ．

（10）已知tan=2，则tanα的值为　　　 ，tan的值为　　　　　 .

（11）的展开式中的常数项是　　　　　　  （用数字作答）

（12）过原点作曲线y＝e^x的切线，则切点的坐标为　　 ，切线的斜率为　　．

（13）对于函数f(x)定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有如下结论：

　　　①f(x₁＋x₂)=f(x₁)·f(x₂)；② f(x₁·x₂)=f(x₁)+f(x₂)； ③>0；④.

　　　当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是　 　　　　　.

（14）已知n次多项式,

　　如果在一种算法中，计算（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要　　　　　　　 次运算．

　　下面给出一种减少运算次数的算法：（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的

值共需要　　　　 次运算．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共13分）

　　已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a,

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

（16）（本小题共14分）

　　如图, 在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝2，DC＝2，AA₁＝，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E，

　（I）求证：BD⊥A₁C；

　（II）求二面角A ₁－BD－C ₁的大小；

　（III）求异面直线 AD与 BC ₁所成角的大小．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（17）（本小题共13分）

　　　甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，

　（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；

　（II）求乙至多击中目标2次的概率；

　（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

（18）（本小题共14分）

　　如图，直线 l₁：y＝kx（k>0）与直线l₂：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W₁，右半部分记为W₂．

（I）分别用不等式组表示W₁和W₂；

（II）若区域W中的动点P(x，y)到l₁，l₂的距离之积等于d²，求点P的轨迹C的方程；

（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M₁，M₂两点，且与l₁，l₂分别交于M₃，M₄两点．求证△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．

 （19）（本小题共12分）

设数列{a_n}的首项a₁=a≠，且,

记，n＝＝l，2，3，…·．

（I）求a₂，a₃；

（II）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（III）求．

（20）（本小题共14分）

　　设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．

　　对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（I）证明：对任意的x₁，x₂∈(0，1)，x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，则(0，x₂)为含峰区间；若f(x₁)≤f(x₂)，则(x*，1)为含峰区间；

（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂∈(0，1)，满足x₂－x₁≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；

（III）选取x₁，x₂∈(0, 1)，x₁＜x₂，由（I）可确定含峰区间为(0，x₂)或(x₁，1)，在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x₂)的情况下，试确定x₁，x₂，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学

（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

　　（1） C  （2）B  （3）C  （4）B  （5）D （6）C （7）A  （8）A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）　　 （10）－；－　　（11）15　　　（12）(1, e)；e

（13）②③　　　（14）n(n＋3)；2n

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

　　（15）（共13分）

　　解：（I） f ’(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，

　　 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

　　（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

　　 所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．　 

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

　　即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．

（16）（共14分）

（I）在直四棱柱ABCD－AB₁C₁D₁中，

∵AA₁⊥底面ABCD．∴ AC是A₁C在平面ABCD上的射影．

　 ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A₁C；

（II）连结A₁E，C₁E，A₁ C₁．

　 与（I）同理可证BD⊥A₁E，BD⊥C₁E，

∴ ∠A₁EC₁为二面角A₁－BD－C₁的平面角．  ∵  AD⊥DC，∴ ∠A₁D₁C₁=∠ADC＝90°，

　　又A₁D₁=AD＝2，D₁C₁= DC＝2，AA₁=且 AC⊥BD，

　　∴ A₁C₁＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A₁E＝2，C₁E＝2，

　　在△A₁EC₁中，A₁C₁²＝A₁E²＋C₁E²，　∴ ∠A₁EC₁＝90°，

　　即二面角A₁－BD－C₁的大小为90°．

（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC₁，

　　则∠C₁BF就是AD与BC₁所成的角． ∵  AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1，　∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴ FC₁=，BC₁＝，

　　在△BFC₁ 中，,∴ ∠C₁BF=

　　即异面直线AD与BC₁所成角的大小为．

（17）（共13分）

解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，

ξ	0	1	2	3
P

P(ξ＝3)＝，

　　　ξ的概率分布如下表：

　

　　 Eξ＝, （或Eξ=3·=1.5）；

　（II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；

　（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B₂，则A＝B₁＋B₂，

　　　B₁，B₂为互斥事件．

  所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.

（18）（共14分）

解：（I）W₁={(x, y) kx<y<－kx, x<0}，W₂={(x, y) －kx<y<kx, x>0}，

　　（II）直线l₁：kx－y＝0，直线l₂：kx＋y＝0，由题意得

　　, 即，

　　由P(x, y)∈W，知k²x²－y²>0，

　　所以 ，即,

　　所以动点P的轨迹C的方程为；

　（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l₁与l₂关于x轴对称，于是M₁M₂，M₃M₄的中点坐标都为（a，0），所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，

　　当直线l₁与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．

　　由，得

　　由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k²－m²≠0且

△=>0

设M₁，M₂的坐标分别为(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，

则, ,

设M₃，M₄的坐标分别为(x₃, y₃)，(x₄, y₄)，

由得

从而，

所以y₃+y₄=m(x₃+x₄)+2n＝m(x₁+x₂)+2n＝y₁+y₂,

　　于是△OM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心也重合．

（19）（共12分）

解：（I）a₂＝a₁+=a+，a₃=a₂=a+；

（II）∵ a₄=a₃+=a+, 所以a₅=a₄=a+,

所以b₁=a₁－=a－, b₂=a₃－=(a－), b₃=a₅－=(a－),

猜想：{b_n}是公比为的等比数列·

　　证明如下：

　　因为b_n+1＝a_2n+1－=a_2n－=(a_2n－1－)=b_n, (n∈N*)

　　所以{b_n}是首项为a－, 公比为的等比数列·

　　（III）.

（20）（共14分）

（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

　　当f(x₁)≥f(x₂)时，假设x*(0, x₂)，则x₁<x₂<x*，从而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

　　这与f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰区间.

　　当f(x₁)≤f(x₂)时，假设x*( x₂, 1)，则x*<≤x₁<x₂，从而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

　　这与f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰区间.

（II）证明：由（I）的结论可知：

　　当f(x₁)≥f(x₂)时，含峰区间的长度为l₁＝x₂；

　　当f(x₁)≤f(x₂)时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁；

　　对于上述两种情况，由题意得

　　　　　　　　　　　　　①

　　由①得 1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₁－x₁≤2r.

　　又因为x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r,　　 ②

　　将②代入①得

　　x₁≤0.5－r, x₂≥0.5－r，　　　　　　　 ③

　　由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r．

　　所以这时含峰区间的长度l₁＝l₁＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．

（III）解：对先选择的x₁；x₂，x₁<x₂，由（II）可知

　　x₁＋x₂＝l，　　　　　　　　　　　　　　 ④

　　在第一次确定的含峰区间为(0, x₂)的情况下，x₃的取值应满足

　　x₃＋x₁＝x₂，　　　　　　　　　　　　　　⑤

　　由④与⑤可得,

　　当x₁>x₃时，含峰区间的长度为x₁．

　　由条件x₁－x₃≥0.02，得x₁－(1－2x₁)≥0.02，从而x₁≥0.34．

　　因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取

x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32．