全国统一考试数学及答案（上海卷.文）

　　  2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·文）试题

  考生注意：

　　　1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

　　　2．本试卷共有22道试题，满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数f(x)=log₄(x+1)的反函数f(x)=　　　　　　　 　　　　　　　．

2．方程4^x+2^x-2=0的解是　　　　　　 ．

3．若x,y满足条件　 x+y≤3

　　　　　　　　　  y≤2x ,则z=3x+4y的最大值是　　　　　　 ．

4．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足=4。则点P的轨

  迹方程是　　　　　　　　　　　　　　 ．

5．函数 y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=　　　　 ．

6．若cosα=,α∈(0.),则cos(α+)=　　　　 ．

7．若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2,0),则椭圆的标准方程是　　　．

8．某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是　　　 ．(结果用分数表示)

9．直线y=x关于直线x＝1对称的直线方程是　　　　　　 ．

10．在△ABC中，若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则 AC＝　　　　　  ．

11．函数f(x)=sinx+2,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是　　　　　　 ．

12．有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是　　　　　　 ．

二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分．

13．若函数f(x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是　　　　 　　　　　　　 [答](　　 )

　  (A)单调递减无最小值　　　　　　　  (B) 单调递减有最小值

　  (C)单调递增无最大值　　　　　　　  (D) 单调递增有最大值

14．已知集合M={x│≤, x∈R},P={x│≥1, x∈Z},则M∩P等于　　  [答](　　 )

　  (A){x│0<x≤3, x∈Z}　　　　　　　  (B) {x│0≤x≤3, x∈Z}

　  (C) {x│-1≤x≤0, x∈Z}　　　　　　　  (D) {x│-1≤x<0, x∈Z}

15．条件甲:“>1”是条件乙:“”的　　　　　　　　　　　　　　　  [答](　　 )

　  (A)既不充分也不必要条件　　　　　  (B) 充要条件

　  (C) 充分不必要条件　　　　　　　　 (D)必要不充分条件

16．用n个不同的实数a₁,a₂,┄a_n可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成　　 1　2  3

一个n!行的数阵.对第i行a_i1,a_i2,┄a_in,记b_i=- a_i1+2a_i2-3 a_i3+┄+(-1)ⁿna_in,　　　 1　3  2

i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都　　 　 2　1  3

是12,所以,b₁+b₂+┄+b₆=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成　　 2　3　1

的数阵中, b₁+b₂+┄+b₁₂₀等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  3  1　2

3　　　  2　1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [答](　　 )

　  (A)-3600　　　 (B) 1800　　　 (C)-1080　　　  (D)-720

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤.

17．（本题满分12分）已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中,M、N分别是BB₁和BC的中点,AB=4,AD=2.B₁D与平面ABCD所成角的大小为60°,求异面直线B₁D与MN所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解]

18．（本题满分12分）在复数范围内解方程(i为虚数单位)

[解]

19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,( 、分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x²-x-6.

(1)求k、b的值;

(2)当x满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值.

[解]

20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

[解]

21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

　  已知抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.

　　(1)求抛物线方程;

　  (2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;

　  (3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.

[解]

22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.

　  对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

　　　　　　　　　　  f(x)·g(x)　　当x∈D_f且x∈D_g

　  规定: 函数h(x)=　 f(x)　　　　 当x∈D_f且xD_g

　　　　　　　　　　  g(x)　　　　当xD_f且x∈D_g

(1)　 若函数f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)　 求问题(1)中函数h(x)的最大值;

(3)　 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.

[解]

　　　　　　　　　  上海数学(文史类)参考答案

一.

1. 4-1　 2. x=0　 3. 11　 4. x+2y-4=0　 5. π　 6. -　 7. 　 

8. 　 9. x+2y-2=0　 10. 3　 11. 1<k<3　 12. 0<a<

二.

13. A　 14. B　 15. B　 16.C

三.

17. [解]联结B₁C,由M、N分别是BB₁和BC的中点,得B₁C∥MN,

　 ∴∠DB₁C就是异面直线B₁D与MN所成的角.

　 联结BD,在Rt△ABD中,可得BD=2,又BB₁⊥平面ABCD, ∠B₁DB是B₁D与平面ABCD所成的角, ∴∠B₁DB=60°.

在Rt△B₁BD中, B₁B=BDtan60°=2,

又DC⊥平面BB₁C₁C, ∴DC⊥B₁C,

在Rt△DB₁C中, tan∠DB₁C=,

∴∠DB₁C=arctan.

即异面直线B₁D与MN所成角的大小为arctan.

18. [解]原方程化简为,

　 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi=1-i,

　 ∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

　 ∴原方程的解是z=-±i.

19. [解](1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.

　 (2)由f(x)> g(x),得x+2>x²-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,

　 ==x+2+-5

　 由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立

　 ∴的最小值是-3.

20. [解](1)设中低价房面积形成数列{a_n},由题意可知{a_n}是等差数列,

　 其中a₁=250,d=50,则S_n=250n+=25n²+225n,

　 令25n²+225n≥4750,即n²+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{b_n},由题意可知{b_n}是等比数列,

其中b₁=400,q=1.08,则b_n=400·(1.08)^n-1·0.85.

　 由题意可知a_n>0.85 b_n,有250+(n-1)·50>400·(1.08)^n-1·0.85.

　 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

　 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

21. [解](1) 抛物线y²=2px的准线为x=-,于是4+=5, ∴p=2.

　 ∴抛物线方程为y²=4x.

　 (2)∵点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2),

　 又∵F(1,0), ∴k_FA=;MN⊥FA, ∴k_MN=-,

　 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=,

　 ∴N的坐标(,).

(4)　 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.

当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,

圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1

∴当m>1时, AK与圆M相离;

　当m=1时, AK与圆M相切;

　当m<1时, AK与圆M相交.

22. [解](1)h(x)=　(-2x+3)(x-2)　　　x∈[1,+∞)

　　　　　　　  x-2　　　　　  x∈(-∞,1)

　 (2) 当x≥1时, h(x)=　(-2x+3)(x-2)=-2x²+7x-6=-2(x-)²+

∴h(x)≤;　

当x<1时, h(x)<-1,

∴当x=时, h(x)取得最大值是

(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=

则g(x)=f(x+α)= sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x.

另解令f(x)=1+sinx, α=π,

g(x)=f(x+α)= 1+sin(x+π)=1-sinx,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sinx)( 1-sinx)=cos2x.