北京市东城区2005-2006学年度综合练习（一）
高三数学 （文科）
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||||
| 分数 | |||||||||
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P={1，2，3，4，5}，集合Q={
}，那么下列结论正确的是（C）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则“
”是“
”的 （B）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若直线
按向量a
平移后与圆
相切，则c的值为（ A ）
A．14或-6 B．12或-8 C．8或-12 D．6或-14
4．在等差数列
中，有
，则此数列的前13项之和为
（Ｃ）
A．24 B．39 C．52 D．104
5．一平面截球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 （ C ）
A．
B．
C.．
D．
6． 若指数函数
的部分对应值如下表：
| x | 0 | 2 |
|
| 1 | 1.69 |
则不等式
(x)<0的解集为 ( D )
A．
B．
C．
D．
7．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有 （C）
A.6种 B. 8种 C. 10种 D.16种
8.设函数
是定义在
上的以3为周期的奇函数，若
，则a
的取值范围是 （ D ）
A.
B.
C.
D.
北京市东城区2005-2006学年度综合练习（一）
高三数学（文科）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在 题中横线上。
9．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量=
．
10．要得到y＝cos(2x－
)的图象,且使平移的距离最短，则需将y＝sin2x的图象向______平移 ______单位，即可得到．
11．已知实数
满足不等式组
，那么不等式组表示的平面区域的面积是_____；目标函数
的最大值是
．
12．若
展开式中含
项的系数等于含x项的系数的8倍，则n＝_______．
13．设函数f(x)=
，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则f(x)的解析式为f(x)=______________,关于x的方程f(x)= x的解的个数为___________．
14．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题
若函数
的图象与
的图象关于
对称，则函数=
.
（注：填上你认为可以成为真命题的一种答案即可）
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
15．（本小题满分13分）
已知函数
，曲线
在点x=1处的切线为l：3x-y+1=0，若
时，
有极值．
(I) 求a、b、c的值；
(II) 求在[-3,1]上的最大值和最小值．
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
16．（本小题满分13分）
已知箱子中有10个球，其中8个是正品，2个是次品，若每次取出1个球，取出后不放回，求：
（I）取两次就能取到2个正品的概率；
（II）取三次才能取到2个正品的的概率；
（Ⅲ）取四次才能取到2个正品的的概率．
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
17．（本小题满分14分）
如图，三棱锥P—ABC中， PC
平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（III）求二面角C-PA-B的大小．
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
18．（本小题满分13分）
设A，B分别是直线
和
上的两个动点，并且
，动点P满足
．记动点P的轨迹为C．
（I）求轨迹C的方程；
（II）M，N是曲线C上的任意两点，且直线MN不与
轴垂直，线段MN的中垂线
交轴于点E（
），求
的取值范围．
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
19．（本小题满分13分）
已知
，
，数列
满足
，
．
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）若
，当n取何值时，
取最大值，并求出最大值．
| 得分 | 评卷人 |
|
|
|
20．（本小题满分14分）
已知函数
．（ x>0）
（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；
（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
北京市东城区2005-2006学年度综合练习（一）
高三数学参考答案（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．C 2．Ｂ 3．A 4．Ｃ 5．C 6．D 7．C 8．D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．72 10．左、
11．
1，4 12．5
13．f(x)=
，3
14．只要回答正确即可，例如：直线y=x，
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
解：(I)由，得
．……………………………………2分
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0． ①
当时，有极值，则
，可得4a+3b+4=0．②
由①、②解得 a=2,b=-4．……………………………………6分
由于切点的横坐标为x=1，∴
．
∴1+a+b+c=4．
∴c=5．…………………………………………………………………7分
(II)由(I)可得
，
∴
．……………………………………8分
令
，得x=－2, ．
| x | [-3,-2) | -2 | (-2, |
| ( |
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) |
| 极大值 |
| 极小值 |
|
)
……………………………………11分
∴f(x)在x=－2处取得极大值f(-2)=13．
在处取得极小值
=
．
又f(-3)=8，f(1)=4
∴f(x)在[-3,1]上的最大值为13，最小值为．……………………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（I）取两次就能取到2个正品的概率为
=
…………………………………………………………4分
（II）取三次才能取到2个正品的概率为
=
……………………………………………………8分
（Ⅲ）取四次才能取到2个正品的概率为
＝
．…………………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：(I) ∵PC平面ABC，
平面ABC，
∴PCAB．…………………………2分
∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．…………………………4分
又
，
∴AB平面PCB． …………………………5分
(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．
则
为异面直线PA与BC所成的角．………6分
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，
∴CFAF．
由三垂线定理，得PFAF．
则AF=CF=
，PF=
，
在
中， tan∠PAF=
=
，
∴异面直线PA与BC所成的角为
．…………………………………9分
（III）取AP的中点E，连结CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．
∵CD平面PAB，
由三垂线定理的逆定理，得 DE PA．
∴
为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………11分
由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在
中，PB=
，
．
在
中， sin∠CED=
．
∴二面角C-PA-B的大小为arcsin
．………………………………14分
解法二：（I）同解法一．
(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．
以B为原点，如图建立坐标系．
则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），
C（，０，0），P（，０，2）．
，
．
…………………7分
则
+0+0=2．
=
= 
．
∴异面直线AP与BC所成的角为．………………………10分
（III）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．
，，
则
即
解得
令
= -1, 得 m= (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=(
)．
，
，
则
即
解得
令
=1, 得 n= (1，1，0)．……………………………12分
=
．
∴二面角C-PA-B的大小为arccos
．………………………………14分
18．（本小题满分13分）
解：（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设
，
．
∵，
∴
∴
……………………………………………………………4分
又
，
∴
．…………………………………………5分
∴
．
即曲线C的方程为
．………………………………………………6分
（II）设直线MN为
（
）．
则
消去y，得 
．(*)………………7分
由于M、N是曲线C上的任意两点，
∴
．
即
．
∴
．
①…………………………………9分
由(*)式可得
，
．
则直线l为 
＝
．
由于E(0,
) 在l上，
∴
．
②……………………………………11分
由②得 
代入①得
．
∴
．
即的取值范围是（
）．……………………………………13分
设
,
,线段MN的中点
．
∴
（1）-（2）得
．
∵
，
，
∴
．…………………………………………………………9分
∴
．…………………………………………………………………10分
∴直线的方程为
．
令x=0，得
，
∵是曲线C内部的点，
∴
，………………………………………………………………12分
∴．
即的取值范围是（）．……………………………………13分
19．（本小题满分13分）
解：（I）∵，
，
，
∴
．
即
．
又，可知对任何
，
，
所以
．…………………………………………………4分
∵
，
∴是以
为首项，公比为
的等比数列．…………6分
（Ⅱ）由（II）可知
=
（
）．…………………………7分
∴
．
．………………………………9分
当n=7时，
，
；
当n<7时，
，
；
当n>7时，
，
．
∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为
．……13分
20．（本小题满分14分）
解：（I） ∵x>0，∴
…………………………2分
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在
上是增函数．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，
可得 0<a
1<b和
．
即
．
∴2ab=a+b>
．…………………………………………………………4分
故
，即ab>1．………………………………………………………5分
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是
[a，b]，则a>0．
① 当
时，
在（0，1）上为减函数．
故
即 
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………8分
②当
时，
在上是增函数．
故
即 
此时a，b是方程
的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………11分
③当
，
时，
由于
，而
，
故此时不存在适合条件的实数a，b．………………………………13分
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．………………………………14分