2005年广州市高三教学质量抽测试题
数 学 2005年2月24日
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷
至
页，第Ⅱ卷
至
页，满分
分，考试时间
分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么 球的表面积公式
， 
如果事件、相互独立，那么 其中
表示球的半径
， 球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是
， 
那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 其中表示球的半径
。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.
若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.
直线
与圆
相切，则常数
的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
5.
在
中，“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6.
在等差数列
中，
，
，则此数列前
项的和等于：
A．
B．
C．
D．
7.
椭圆
的两个焦点为
、
，且椭圆上的点
满足
，则
：
A．
B．
C．
D．
8.
的展开式中的常数项是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.
已知球的表面积为
，、、
三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为
，则球心
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.
函数
的最小正周期是（ ）
A．
B． C．
D．
11.
将名医生分配到间医院，每间医院至少名医生，则不同的分配方案共有（ ）
A．
种 B．
种 C．
种 D．种
12.
如图，正方体
的棱长为，点
在棱
上，
且
，点是平面
上的动点，且动点到直线
的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的
轨迹是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线
2005年广州市高三教学质量抽测试题
数 学
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
1. 第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 分数 | ||||||||
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13.
设复数
，则
。
14.
某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为
。为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中业务人员人数为，则此样本的容量
。
15.
设
、
满足约束条件：
，则
的最大值是 。
16.
已知
、
为不垂直的异面直线，
是一个平面，则、在上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。在上面的结论中，正确结论的编号是 。（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
如图，在一段线路中并联着个自动控制的常开开关
、
、
，只要其中有个开
关能够闭合，线路就能正常工作。假定在某段时间内开关、、能够闭合的概率分别是
、
、
，计算：
（Ⅰ）在这段时间内恰好个开关都闭合的概率；
（Ⅱ）在这段时间内线路正常工作的概率。
18. （本小题满分12分）
已知向量
，
。
（Ⅰ）当
时，求
；
（Ⅱ）求
的最大值。
19. （本小题满分12分）
如图，在长方体中，
，点
为
上的点，且
。
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小（结果用反余弦表示）。
20. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为
，
（
）。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求
。
21. （本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，以双曲线
的左准线为准线。
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若直线
（
）垂直平分抛物线的弦，求实数的取值范围。
22. （本小题满分14分）
已知函数
（
）。
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）证明：
。
2005年广州市高三教学质量抽测
数学试题参考答案
一、选择题：
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | A | C | A | B | A | A | D | C | D | B |
二、填空题：
13．
14．
15． 16．①②④
三、解答题：
17.
解：（Ⅰ）
； （Ⅱ）
。
18.
解：（Ⅰ）
，故
；
（Ⅱ）因为
，
当且仅当
时，取得等号，故
。
19.
解：如图建立空间直角坐标系，设
，
则有
（Ⅰ）证明：因为
，
，
，所以
，
，
因此有
，
。
又因为
平面，
平面，且
，故有
平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：是平面的法向量。又显然，向量
是平面
的法向量，由此及
得二面角的大小为
。
20.
解：（Ⅰ）
；当
时，有
，
故数列是以
为首项，以
为公比的等比数列，其通项公式
（）；
（Ⅱ）因为
，
，所以
。
21.
解：（Ⅰ）双曲线的左准线方程是
，
故抛物线的方程为
；
（Ⅱ）解法一：设抛物线被直线
垂直平分的弦
的方程为
，则
。 ……①
设
、
，则
，
，从而弦的中点
，由此及点在直线上得
，
代入①式得
，解之得
，故实数的取值范围是
。
解法二：依题意，设
、
，则弦的中点
，从而有
。
因为点在直线上，所以
。
注意到点在抛物线的内部，故
，
即实数的取值范围是。
22.
解：（Ⅰ）函数的定义域为
，且
：
①若
，则
在上恒成立；
②若
，则
，
，
综上所述，有下面结论：
若，则在内单调递增；
若，则在
内单调递减，而在
内单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知：函数
在
内单调递减，而在
内单调递增，故当
时，有
，
故有
，即。