2006年郑州一中高三暑假补课
数学试题（理科）
一、选择题（12
5=60）
1.
等于
（ ）
A 
i
B -i C 
-i D -+i
2.设随机变量
服从B（6，
），则P（=3）的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知
，如果bc≠0，那么
= ( )
A 15
B、
C、
D、
4.从10名女生和5名男生中选出6名组成课外学习小组，如果按性别比例分层随机抽样，则组成此课外学习小组的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.若r为实常数，则集合
( )
A、恰有一个元素 B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素
6.过抛物线y=x2上的点M（
）的切线的倾斜角是 ( )
A、300 B、450 C、600 D、900
7.有三个相识的人某天各自乘火车外出，火车有十节车厢，那么至少有两人在车厢相遇的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，
）
9．a、b为实数且b－a=2，若多项式函数f(x)在区间(a，b)上的导数f′(x)满足f′(x)＜0，
则一定成立的关系式是（ ）
A．f(a)＜f(b) B．f(a+1)＞f(b－
) C．f(a+1)＞f(b－1) D．f(a+1)＞f(b－
)
10.甲、乙两名篮球运动员轮流投篮直到某人投中为止，甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，设甲先投，甲的投篮次数为，则P（=k）等于（ ）
A.
B.
C.
D.
11.新生儿体重的频率分布直方图如下，则新生儿体重在（2700，3000）的频率为（ ）
A.0.001 B.0.1 C.0.2 D.0.3
12．已知函数
的导函数的图象如图甲所示，
则的图象可能是（
）
 |
A B C D
二、填空题（44=16）
13.由于电脑故障，使得随机变量的分布列部分数据丢失（以
代替），其表如下：
则其期望为 。
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| p | 0.20 | 0.10 | 0. | 0.10 | 0.1 | 0.20 |
14.已知函数
连续，则a的值为
。
15.一投资者在甲、乙两个方案里选择一个，其利润X（万元）甲、乙方案分别服从N（6，22）和N（8，32），要求“利润超过5万元”的概率尽量大，则应该选择 方案。（
）
16.函数
内递减，则a的取值范围 。
三、解答题:
17.（12分）
张三开车回家途中有6个交通岗，他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
（1）求他在途中至少一次遇到红灯的概率
（2）设为他在途中遇到的红灯次数，求的期望和方差
（3）设
表示他在首次停车前经过的路口数，求的分布列
18(12分)
已知
19.（12分）
某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在甲、乙、丙3个景区选择一个，假设各部门选择每个景区是等可能的
（1）求3个景区都有部门选择的概率
（2）求恰有2个景区有部门选择的概率
20（12分）
向量
，
，若函数
在区间（-1，1）上递增， 求t的取值范围.
21、（12分）
已知抛物线y=-x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求切线l的方程
22、(14分)
已知
（I）已知数列
极限存在且大于零，求
（将A用a表示）；
（II）设
（III）若
都成立，求a的取值范围.
参考答案
一、选择题：DA DAC BBDBB DD
13、 3.5 14、
3 15、 乙 16、
17、（1）他在每个路口遇到红灯的概率为，则他在每个路口顺利通过的概率为
，所以他在途中一次红灯都没有遇到的概率为（）6=
，所以他至少一次遇到红灯的概率为1-=
。
(4分)
（2）他在6个路口遇到红灯是相互独立的，在每个路口遇到红灯的概率都是，则P（=K）=
(k=0,1,2,3,4,5,6) ,则服从B（6，），则E=6=2（次），D=6=
。
（8分）
（3）的可能的取值为0、1、2、3、4、5、6
P（=0）=
P（=1）=（）=
P（=2）=（）2=
P（=3）=（）3=
P（=4）=（）4=
P（=5）=（）5=
P（=6）=（）6=
则的分布列如下：表格略
（12分）
18.解：函数f(x)的导数：f’(x)=2x e
+ax2 e=（2x+ax2）e
（2分）
(1)当a=0时，若x＞0,则f’(x) ＞0, 若x＜0,则f’(x) ＜0
∴当a=0时，函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数，在区间(0,+ ∞)内为增函数 （4分）
（2）当a＞0时，由2x+ax2＞0，解得x＜-
或x＞0
由2x+ax2＜0，解得-＜x＜0
∴当a＞0时，函数f(x)在区间(-∞, -)内为增函数，在区间（-，0）内为减函数在区间(0,+ ∞)内为增函数
（8分）
（3）当a＜0时，由2x+ax2＞0，解得0＜x＜-
由2x+ax2＜0，解得x＞-或x＜0
∴当a＜0时，函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数，在区间（0,-）内为增函数,在区间（-，+ ∞）内为减函数
（ 12分）
19、解：4个单位选择3个景区可能出现的结果数是34，这些结果是等可能性出现的。 （2分）
（1）3个景区都有部门选择的可能出现的结果数为
，则3个景区都有部门选择的概率为
=
（7分）
（2）4个部门都选择一个景区的概率为
，由（1）知3个景区都有部门选择的概率为，所以恰有两个景区有部门选择的概率为1--
=
（12）
（另一种计算是，恰有两个景区有部门选择的结果数为
）
20：解=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t
f/(x)= -3x2+2x+t 由题意在区间（-1，1）上递增，f/(x)> 0在区间（-1，1）上恒成立。
f/(x)>f/(-1)
f/(-1)=-3-2+t
0,即t5函数f(x)在区间（-1，1）上递增 （12分）
21．解：设抛物线上的切点P（x0,-x0+2）,(x0>2)
由y=-x2+2得y/=-2x，k=-2x0
直线l的方程为y-(-x0+2)=-2x0(x-x0)令y=0,得x=
令x=0，得y=x02+2
因此所求三角形面积S=
（5分）
S/=
S/=0,x0>0得 x0=
当
x0=S最小，
此时k=-
切点P(
)所求的切线的方程为y-
（12分）
22、解：（I）由
（3分）
（II）
（6分）
（III）
（9分）
（i）当n=1时结论成立（已验证）.
（ii）假设当
故只须证明
即n=k+1时结论成立.
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立.
故
（14分）