全国统一考试数学（全国卷Ⅱ.理）（吉林、黑龙江、广西）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

2005年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

YCY

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I卷

注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　  球的表面积公式　　　

P(A+B)=P(A)+P(B)　　　　  　　　　　

如果事件A、B相互独立，那么　　　　  其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)　　　　　　　　　

如果事件A在一次试验中发生的概率是　　球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k　　　　

次的概率　　　　 其中R表示球的半径

YCY

一、选择题：

1．函数f(x)=sinx+cosx的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．π　　　　　　　　　　　D．2π

2．正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P、Q、R分别是AB、AD、B₁C₁的中点。那么，正方体的

　 过P、Q、R的截面图形是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．三角形　　　　　　　 B．四边形　　　　　　　　C．五边形　　　　　　　 D．六边形

3．函数的反函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　　B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　D．

4．已知函数内是减函数，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．0<≤1　　　　　　 B．－1≤<0　　　　　C．≥1　　　　　　　　 D．≤－1

5．设a、b、c、d∈R，若为实数，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．bc+ad≠0　　　　　　B．bc－ad≠0　　　　　C．bc－ad=0　　　　　　D．bc+ad=0

6．已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　D．

7．锐角三角形的内角A、B满足tanA－=tanB，则有　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．sin2A－cosB=0　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．sin2A+cosB=0

　　　 C．sin2A－sinB=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．sin2A+sinB=0

8．已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，

　 那么有等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．2　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　　　 D．－

9．已知集合M={xx²－3x－28≤0}, N={xx²－x－6>0}，则M∩N为　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．{x－4≤x<－2或3<x≤7}　　　　　　　　　 B．{x－4<x≤－2或3≤x<7}

　　　 C．{xx≤－2或x>3}　　　　　　　　　　　　　　　 D．{xx<－2或x≥3}

10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为v个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．（－2，4）　　　　　B．（－30，25）　　　 C．（10，－5）　　　　D．（5，－10）

11．如果a₁, a₂, …,a₈为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．a₁a₈>a₄a₅　　　　　　 B．a₁a₈<a₄a₅　　　　　　 C．a₁+a₈>a₄+a₅　　　　 D．a₁a₈=a₄a₅

12．将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小值为　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　D．

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

3．本卷共10小题，共90分。

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二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13．圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为　　 　　　　　.

14．设为第四象限的角，若=　　　　   .

15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有　　　　　 个.

16．下面是关于三棱锥的四个命题：

　　　 ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.

④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是　　　　　　　 （写出所有真命题的编号）.

三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

设函数取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知是各项均为正数的等差数列，、、成等差数列.又

（Ⅰ）证明为等比数列；

（Ⅱ）如果无穷等比数列各项的和，求数列的首项a₁和公差d.

（注：无穷数列各项的和即当时数列前n项和的极限）

19．（本小题满分12分）

　　甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）

20．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；

（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.

21．（本小题满分14分）

P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.

22．（本小题满分12分）

　　已知

（Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.