2005年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（必修+选修Ⅰ）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
一、选择题：每小题5分，共60分.
1．已知
为第三象限角，则
所在的象限是 （ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为 （ ）
A．0 B．－8 C．2 D．10
3．在
的展开式中
的系数是 （ ）
A．－14 B．14 C．－28 D．28
4．设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B-APQC的体积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，则 （ ）
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
6．若
，则 （ ）
A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c
7．设
,且
,则 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．
= （ ）
A．
B．
C．1 D．
9．已知双曲线
的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且
则点M到
x轴的距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 （ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数
符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
| 16进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| 10进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （ ）
A．6E B．72 C．5F D．B0
第Ⅱ卷
二．填空题：每小题4分，共（16分）
13．经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执
“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座
谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一
般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人.
14．已知向量
，且A、B、C三点共线，则k= .
15．曲线
在点（1，1）处的切线方程为
.
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是
三.解答题：共74分.
17．(本小题满分12分)
已知函数
求使
为正值的
的集合.
18．(本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、
乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概
率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
19．(本小题满分12分)
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
|
20．(本小题满分12分)
在等差数列
中，公差
的等差中项.
已知数列
成等比数列，求数列
的通项
21． (本小题满分12分)
用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最
大?最大容积是多少?
|
22． (本小题满分14分)
设
两点在抛物线
上，
是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当
取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当
时，求直线的方程.
2005年普通高等学校招生全国统一考试（四川）
数学（文）参考答案
一、DBBCA，CCBCD，BA
二、13、3，14、
，15、x+y-2=0，16、12
三、解答题：
17．解：∵
……………2分 
………4分
…………………………………………6分
……………………………8分
………………………………………………10分
又
∴
………………………12分
18．解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
则A、B、C相互独立，
由题意得： P（AB）=P(A)·P(B)=0.05
P（AC）=P(A)·P(C)=0.1
P（BC）=P(B)·P(C)=0.125…………………………………………………………4分
解得：P(A)=0.2；P(B)=0.25；P(C)=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴
相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
|
…………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
……12分
19．证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面
ABCD．…………………………1分
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，…………………………2分
则A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，
），
∴
………………………………3分
由
……………………………………4分
……………………………………5分
又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
是面VAD的法向量………………………………7分
设
是面VDB的法向量，则
……9分
∴
，……………………………………11分
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为
…………12分
20．解：由题意得：
……………1分 即
…………3分
又
…………4分 又成等比数列,
∴该数列的公比为
，………6分 所以
………8分
又
……………………………………10分
所以数列的通项为
……………………………12分
21．解：设容器的高为x，容器的体积为V，……………………………………………1分
则V=（90－2x）（48－2x）x,(0<V<24)………………………………………………5分
=4x3－276x2+4320x ∵V′=12 x2－552x+4320………………………………7分
由V′=12 x2－552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960………………………………………10分
又V(0)=0,V(24)=0,………………………………………………………………11分
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960……………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）∵抛物线，即
，
∴焦点为
………………………………………………………1分
（1）直线的斜率不存在时，显然有
………………………………3分
（2）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b
即直线：y=kx+b
由已知得：
……………5分 
……………7分 
即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分
所以当且仅当
=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分
（Ⅱ）当
时，
直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b………………………………10分
则由（Ⅰ）得：
………………………11分
…………………………………………13分
所以直线的方程为
，即
………………14分