高三数学模拟试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，各题答案必需答在机读卡上。
1．已知集合M={xx－a=0}，N={xax－1=0}，若M
N=N，则实数a的值是（D）
A．1 B．－1 C．1或－1 D．0或1或－1
2．已知集合
，映射
满足 
，若对于
实数
，在集合
中不存在原象，则
的取值范围是（ D ）
A． 
B．
C．
D．
3．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ C）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是双曲线
的左右焦点，P、Q为右支上的两点，直线PQ过
且倾斜角为
，则
的值为（ A ）
A. 
B.
8 C.
D.
随大小变化
5．已知等比数列{
}的前n项和
，则
…
等于（ D）
A．
B．
C．
D．
6．过点M（－2，4）作圆C：
的切线l，l1：
与l平行，则l1与l间的距离是（ A ）
A.
B.
C.
D.
7．已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域为［－π，π］，且它们在x∈［0，π］上的图象如下图所示，则不等式
＞0的解集为（D）
A.（－
，0）∪（，π） B.（－π，－）∪（，π）
C.（－
，0）∪（，π） D.（－π，－）∪（0，）
8．把函数y=cos x的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标
扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移
个单位，则所得图形表示的函
数的解析式为（ B ）
A．y=2sin 2x B．y=－2sin 2x
C．y=2cos（x+）
D．y=2cos（
+）
9．在区间［－4，－1］上，函数f（x）=－x2+px+q与函数g（x）=x+
同时取相同最大值，那么函数f（x）在区间［－4，－1］上的最小值为C
A.－10 B.－5 C.－8 D.－32
10．函数y=x2－2x在区间[a，b]上的值域是[－1,3],则点（a，b）的轨迹
是图中的 （ A ）
A．线段AB和线段AD
B．线段AB和线段CD
C．线段AD和线段BC
D．线段AC和线段BD
11．若抛物线y=2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y=x+m对称，且x1·x2=－
,则实数m的值为B
A.
B.
C.
D.2
12.定义运算a*b为：a*b=
则关于x的函数f (x)=
的取值范围是（ C ）
A．
B.（0，1） C. 
D.[1，+∞]
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）各题答案必需填写在答题卡上（只填结果，不写过程）。
13.已知a∥b，a=（2，3），b=（－4，m），又c=5，c与a的夹角为60°，则（a+b）·c的值为_－
_____.
14.若定义在区间
上的函数
对于上的任意
个值
总满足，
则称为上的凸函数，现已知
在（0，
）上是凸函数，则在锐角
中，
的最大值是_3/2______.
15.规定记号“
”表示一种运算，即
. 若
，则函数
的值域是_
__________.
16.给出以下结论：
①通项公式为an=a1(
)n－1的数列一定是以a1为首项，为公比的等比数列；
②存在角α使得tanα+cotα=－
成立；
③函数y=
在定义域上是单调递减的；
④若α，β∈(,π)，且tanα<cotβ，则α+β<
;
⑤函数y=log
(4－x2)的值域是
.
其中可能成立的结论的序号是__4.5________.（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）各题答案必需填写在答题卡上（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
，其中
。
（I）求
的取值范围；
（II）若函数
的大小。
解：
18.（本小题满分12分）已知函数
的图象经过原点。
（1）若
成等差数列，求m的值；
（2）若
，正数a、b、c成等比数列，求证：
解：（1）将（0，0）代入
，得：
………………（2分）
由已知可得：
………………（3分）
即：
（
舍）……………………（6分）
（2）由已知可得： 
…（8分）
而
…（12分）
另解：
………（8分）
………………（10分）
∵a，b，c成等比数列 
得证（12分）
19.（本小题满分12分）已知函数
(k为常数)，A（－2k, 2）是函数
图象上的点。
（I）求实数k的值及函数的解析式；
（II）将的图象按向量
（3，0）平移，得到函数y=g(x)的图象。若
恒成立，试求实数m的取值范围。
解：（I）∵A（－2k, 2）是函数y=f－1(x)图象上的点。
∴B（2，－2K）是函数y=f(x)上的点。 ∴2k=32+k
∴k=－3, ∴y=f(x)=3x－3 ∴y=f－1(x)=log3(x+3),(x>－3)
（II）将y=f－1(x)的图象按向量
=（3，0）平移，得函数y=g(x)=log3x(x>0)
要使2f－1(x+
)－g(x)≥1 恒成立， 即使2log3(x+
)－log3x≥1恒成立。
所以有x+
≥3在x>0时恒成立，只须（x+）min≥3。
又x+
(当且仅当x=
时取等号)
∴（x+）min=4
只须4≥3，即m≥
。
∴实数m的取值范围为
20. （本小题满分12分）某厂家拟在2005年国庆节期间举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（
）满足
（k为常数），如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件，已知2005年生产该产品的固定投入为8
万元，每生产1万件产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定
为年平均每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分
资金）
（1）将2005年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2005年的促销费用投入多少万元时，厂家的年利润最大？
解：（1）设2005年生产产品x万件
时，
代入
………………（2分）
则年成本：
………………（4分）
年利润：
…………（6分）
……………………（7分）
（2）
………………（10分）
当且仅当
，即
时取等号………………（11分）
时，
万元……………………（12分）
21.（本小题满分12分）已知椭圆
的一条准线方程是
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线
的一条渐近线方程为
。
（I）求椭圆
的方程及双曲线
的离心率；
（II）在第二象限内取双曲线上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若
。求证：
。
21. 解：（I）由已知
，解之得：
…………（3分）
∴椭圆的方程为
，双曲线的方程
又
∴双曲线的离心率
………………（7分）
（II）由（I）
设
则由得M为BP的中点
∴P点坐标为
将M、P坐标代入
方程得：
消去
得：
解之得：
或
（舍）
由此可得：
………………（9分）
当P为
时，
即：
代入，得：
或
（舍）
MN⊥x轴，即
………………（14分）
22.（本小题满分14分）y = f
(x)的定义域为R，对任意实数m、n有f (m+n) =
，且当x<0时，
，数列{an}满足
且
*)。
（1）求证：y = f
(x)在R上单调递减；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使
·
…
，对一切n∈N*均成立，若存在，试求出k的最大值并证明，若不存在，说明理由。
22．解（1）令m=－1，n=0则：f (–1)=f (–1)f (0)，而f (–1)>1 ∴f(0)=1
令m=x>0，n= –x<0则f (x–x)=f (x)·f (–x)=1
∴f (x)=
(0,1)，即x>0时0<f (x)<1
设x1<x2则x2–x1=0 ∴0<f (x2–x1)·f (x1)–f (x1)=f (x1)[f (x2–x1)–1]<0 ∴f(x)<f(x1)
即y = f (x)在R上单调递减
（2）由f (an+1)=
，nN* 得：f (an+1)·f (–2–an)
=1
∴f (an+1–an–2) = f (0) 由（1）知：an+1–an–2=0
即an+1–an=2（nN*） ∴{an}是首项为a1=1，公差为2的等差数列
∴an=2n–1
（3）假设存在正数k，使（1+
对nN*恒成立
记F(n)=
即
∴F（n）是递增数列，F（1）为最小值。
由F（n）
恒成立知k
∴kmax = 
.