数学月考试题(理科)

高2006级数学月考试题(理科)　2006.5

一.选择题.(每小题5分,共50分)

1.已知集合,则=(　 )

　A.　　　　　　　　　　　 B.

　C.　　　　　　　　　　　 D.

2.=(　 )

　A.　　　　　　　 B.2　　　　　　　 C.　　　　  D.1

3.已知复数满足,则的值是(　 )

　A.　　　　　B.　　　　 C.　　 D.

4.设等差数列的公差为2,前项和为,则下列结论中正确的是(　 )

　A.　　　　　　　　　 B.

　C.　　　　　　　　　  D.

5.在正三棱锥P—ABC中,M、N分别是PB、PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC, 则此棱锥侧面与底面所成二面角是(　 )

　A.　　　　 B.　　　 C.　　　　　 D.

6.设函数,则函数的图象与的图象关于(　 )

　A.直线对称　 B.直线对称　  C.原点对称　　D.轴对称

7.已知实数满足,则的最小值是(　 )

　A.26　　　　　　　  B.18　　　　　　  C.　　　　 D.4

8.函数的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数,若,则等于(　 )

　A.　　　　　　　  B.　　　　　　  C.　　　　  D.0

9.若函数在区间(0,4)上是减函数,则的取值范围是(　 )

　　A.　　　　　  B.　　　 C.　　　 D.

10.某种手提保险箱装有6位密码的密码锁,每一个旋钮上显示的数字依次可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一个,现规定,只要一个旋钮上转出一个新数字就为一步,逆时针转和顺时针转都可以,已知一保险箱的密码为631208,现在显示的号码为080127,则要打开箱子,至少需要经过旋转(　 )

　A.11步　　　　　　　 B.12步　　　　　  C.13步　　　　  D.14步

二.填空题.(每小题4分,共24分)

11.已知函数的最小正周期是,则实数=　　　 .

12.的展开式中的系数是　　　　 .

13.非零向量、满足,则与所成的角为　　 .

14.设数列是公比为的等比数列,是它的前项和,若是等差数列,则=

　　　　　.

15.给出下列三个命题:

　①若,则;

②若正整数、满足,则;

③设是圆上的任意一点,圆以为圆心,半径为1.当时,圆与圆相切.

　其中所有真命题的序号为　　　　　　  .

16.已知A(1,1)为椭圆内一点,F₁为椭圆左焦点,P为椭圆上一动点.则

　PF₁+PA的最大值和最小值分别为　　　　　　.

三.解答题.(本大题共6小题,共76分)

17.(13分)已知锐角△ABC中,角A、B、C的对边分别为、、,且

　.

　(1)求:∠B;

　(2)求:.

18.(13分)定义在R上的单调函数满足,且.

　(1)判断的奇偶性,并加以证明;

　(2)当时,求满足不等式的的取值范围.

19.(13分)如图示,在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AA₁=,

AB=,点D是AC的中点.

　(1)求证:平面A₁BD⊥平面AA₁C₁C;

　(2)求二面角B—A₁C₁—D的大小;

　(3)若AB₁A₁B=E,求四面体C₁BED的体积.

20.(13分)如图示,一辆车要直行通过某十字路口,这时前方刚好由绿灯转为红灯,该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶).已知每辆车直行的概率为,左转行驶的概率为.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒,一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求:

　(1)前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率;

  (2)该车在第一次绿灯亮起的1分钟内能通过该十字路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口);

　(3)假设每次由红灯转为绿灯的瞬间,所有

排队等候的车辆都同时向前行驶,并用

(分钟)表示该车在这十字路口候车的

时间,求的数学期望.

　　　　　　　　

21.(12分)设双曲线方程为的一条准线方程为,倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点,O为坐标原点,且,直线AB与OM夹角为.

　(1)当时,求双曲线方程;

　(2)当时,求的最大值.

22.(12分)已知在开区间内是增函数.

　(1)求实数的取值范围;

　(2)若数列满足,证明:;

　(3)若从点可向表示的曲线引三条不同的切线,求满足的不等式.

高2006级数学月考试题答卷(理科)  2006.5

二.填空题.(每小题4分,共24分)

题号	11	12	13	14	15	16
答案

三.解答题.(共76分)

17.(13分)

18.(13分)

19. (13分)

20.(13分)

21.(12分)

22.(12分)

高2006级数学月考试题答案(理科)　2006.5

一.选择题.(每小题5分,共50分)

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	A	C	C	B	D	B	A	C	D

二.填空题.(每小题4分,共24分)

　11.　　12. 24　　 13. 　　 14. 1　　15. ①②　　16.

三.解答题.(共76分)

　17.(13分)(1)

∴　　  ∴,故B=60°.

　 (2)

.

  18.(13分)(1)令得　∴

令　则

∴. 故是R上的奇函数.

　 (2)由知,又为R上的单调函数.

∴为R上的增函数.

故

∵　 ∴时,　解集为; 时,解集为;

时,解集为.

　19.(13分)(1)∵AB=BC,D是AC中点. ∴AC⊥BD

又AA₁⊥底面ABC,  ∴AA₁⊥BD, 故BD⊥面A₁ACC₁.

∴面A₁BD⊥面A₁ACC₁.

　 (2)取A₁C₁中点D₁,连DD₁,BD₁,则DD₁⊥A₁C₁.

又DD₁为BD₁在面ACC₁A₁内的射影.

∴BD₁⊥A₁C₁, 则∠BD₁D为二面角B—A₁C₁—D的平面角.

在Rt△BDD₁中,DD₁=A₁A=2.

,所以.

即二面角B—A₁C₁—D的大小为.

　 (3)由于E是A₁B的中点,所以

.

　20.(13分)(1).

　 (2).

　 (3)由题意知可取1,2,其分布列为:

	1	2
P

则.

　21.(12分)(1)依题意,　∴,双曲线方程为

设,

∵,　 ∴

∴.

又,两式相减得:.

即.

∵,　　∴.

∴.

∴或.

故所求双曲线方程为或.

　 (2)由(1)知, ∴, ∴.

∵,而　在上为增函数,

∴时,有最大值80,  ∴的最大值为.

　22.(12分)解:(1),依题意时,,

即恒成立,

∴,所求的范围是.

　 (2)先用数学归纳法证明

①,已知成立;　　　

②假设,那么 ,

当时,在内是增函数, ∴,

即.

由①,②可知对于.

再证.

　　　 ,

由于,

∴,于是.　 ∴.

综上,.

(3)设切点,

,

切线方程:,

且,

将坐标代入切线方程,得

,

化为:.　 ①

若有三条不同的切线,则方程①有3个相异实根.

令,

　,

　△,　 ∴.

由得两极值点

且两极值点在轴上、下各有一个,于是,

即.

.

当时,;

当时,.