全国统一考试数学及答案（上海卷.理）

　　  2005年全国高等学校招生统一考试数学（上海·理）试题

  考生注意：

　　　1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

　　　2．本试卷共有22道试题，满分 150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．函数f(x)=log₄(x+1)的反函数f(x)=　　　　　　　 　　　　　　　．

2．方程4^x+2^x-2=0的解是　　　　　　 ．

3．直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足=4。则点P的轨

  迹方程是　　　　　　　　　　　　　　 ．

4．在(x-a)的展开式中,x的系数是15,则实数a=　　　　 ．

5．若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(,0), 则双曲线的方程是　　 　　　　　　　　　 ．

6．将参数方程　 x=1+2cosθ

y=2sinθ　 (θ为参数)化为普通方程,所得方程是　　　　　　　  ．

7．计箅:=　　　　 ．

8．某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是　　　 ．(结果用分数表示)

9．在△ABC中，若∠A＝120°，AB=5，BC＝7，则△ABC的面积S＝　　　　　  ．

10．函数f(x)=sinx+2,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是　　　　　　 ．

11．有两个相同的直三棱柱,高为,底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a的取值范围是　　　　　　 ．

12．用n个不同的实数a₁,a₂,┄a_n可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成　　 1　2  3

一个n!行的数阵.对第i行a_i1,a_i2,┄,a_in,记b_i=- a_i1+2a_i2-3 a_i3+┄+(-1)ⁿna_in,　　　 1　3  2

i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都　　　  2　1　3

是12,所以,b₁+b₂+┄+b₆=-12+212-312=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成　　 2　3  1

的数阵中, b₁+b₂+┄+b₁₂₀=　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　  3　1　2

3　　　　 2　1

二．选择题(本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括内,选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括内),一律得零分．

13．若函数f(x)=, 则该函数在(-∞,+∞)上是　　　　　　　　　　　  [答](　　 )

　  (A)单调递减无最小值　　　　　　　  (B) 单调递减有最小值

　  (C)单调递增无最大值　　　　　　　  (D) 单调递增有最大值

14．已知集合M={x│≤, x∈R},P={x│≥1, x∈Z},则M∩P等于　　　[答](　　 )

　  (A){x│0<x≤3, x∈Z}　　　　　　　  (B) {x│0≤x≤3, x∈Z}

　  (C) {x│-1≤x≤0, x∈Z}　　　　　　　  (D) {x│-1≤x<0, x∈Z}

15．过抛物线y²=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [答](　　 )

　  (A)有且仅有一条　　(B) 有且仅有两条　 (C) 有无穷多条　　(D)不存在

16．设定义域为R的函数f(x)=　,　 x≠1

　　　　　　　　　　　　　　 0,　　　　 x=1 ,则关于x的方程f²(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [答](　　 )

　  (A)b<0且c>0　 (B) b>0且c<0　　(C)b<0且c=0　　　(D)b≥0且c=0

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要步骤.

17．（本题满分12分）已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中, AA₁=2底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC₁与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解]

18．（本题满分12分）在复数范围内解方程(i为虚数单位)

[解]

19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

如图,点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.

(1)求点P的坐标;

(2)设M椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

[解

20．(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分, 第2小题满分8分.

假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

[解]

21．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

　  对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

　　　　　　　　　　  f(x)·g(x)　　当x∈D_f且x∈D_g

　  规定: 函数h(x)=　 f(x)　　　　 当x∈D_f且xD_g

　　　　　　　　　　  g(x)　　　　当xD_f且x∈D_g

(1)　　若函数f(x)=,g(x)=x²,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)　　求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

[解]

22．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.

　  在直角坐标平面中,已知点P₁(1,2),P₂(2,2²),┄,P_n(n,2ⁿ),其中n是正整数.对平面上任一点A₀,记A₁为A₀关于点P₁的对称点, A₂为A₁关于点P₂的对称点, ┄, A_N为A_N-1关于点P_N的对称点.

　  (1)求向量的坐标;

　  (2)当点A₀在曲线C上移动时, 点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;

　  (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.

 [解]

上海数学(理工农医类)参考答案

一.

1. 1. 4-1　 2. x=0　 3. x+2y-4=0　 4. -　 5. 　 6. (x-1)²+y²=4　

7. 3　 8. 　 9. 　 10. 1<k<3　　11. 0<a<　 12.-1080

二.

13. A　 14. B　 15. B　 16.C

三.

17. [解]由题意AB∥CD,∴∠C₁BA是异面直线BC₁与DC　所成的角.连结AC₁与AC,在Rt△ADC中,可得AC=.

　 又在Rt△ACC₁中,可得AC₁=3.

　 在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H,

得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=.

又在Rt△CBC₁中,可得BC₁=,

在△ABC₁中,cos∠C₁BA=,∴∠C₁BA=arccos

异面直线BC₁与DC所成角的大小为arccos

另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD₁所在

直线为x、y、z轴建立直角坐标系.

则C₁(0,1,2),B(2,4,0), ∴=(-2,-3,2),

=(0,-1,0),设与所成的角为θ,

则cosθ==,θ= arccos.

异面直线BC₁与DC所成角的大小为arccos

18. [解] 原方程化简为,

　 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x²+y²+2xi=1-i,

　 ∴x²+y²=1且2x=-1,解得x=-且y=±,

　 ∴原方程的解是z=-±i.

19. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

　 设点P(x,y),则={x+6,y},={x－4,y},由已知可得

　　　

　　　 (x+6)(x－4)+y²=0

　 则2x²+9x－18=0,x=或x=－6.

　 由于y>0,只能x=,于是y=.

　 ∴点P的坐标是(,)

　 (2) 直线AP的方程是x－y+6=0.

　 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是.

　 于是=,又－6≤m≤6,解得m=2.

　 椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

　 d²=(x－2)²+y²=x－4x²+4+20－x²=(x－)²+15,

由于－6≤m≤6, ∴当x=时,d取得最小值

20. [解] (1)设中低价房面积形成数列{a_n},由题意可知{a_n}是等差数列,

　 其中a₁=250,d=50,则S_n=250n+=25n²+225n,

　 令25n²+225n≥4750,即n²+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{b_n},由题意可知{b_n}是等比数列,

其中b₁=400,q=1.08,则b_n=400·(1.08)^n-1·0.85.

　 由题意可知a_n>0.85 b_n,有250+(n-1)·50>400·(1.08)^n-1·0.85.

　 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

　 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

21. [解] (1)h(x)=　　　 x∈(-∞,1)∪(1,+∞)

　　　　　　　  1　　　　　  x=1

　 (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,

　　　若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立

∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=

则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+sin2x, α=,

g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.

22.. [解](1)设点A₀(x,y), A₀为P₁关于点的对称点A₀的坐标为(2-x,4-y),

　 A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为(2+x,4+y),

　 ∴={2,4}.

　 (2) ∵={2,4},

∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

另解设点A₀(x,y), A₂(x₂,y₂),于是x₂-x=2,y₂-y=4,

若3< x₂≤6,则0< x₂-3≤3,于是f(x₂)=f(x₂-3)=lg(x₂-3).

当1< x≤4时, 则3< x₂≤6,y+4=lg(x-1).

∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(3) =,

由于,得

 =2()

=2({1,2}+{1,2³}+┄+{1,2^n-1})

=2{,}={n,}