全国统一考试数学及答案（江西卷.理）

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学

YCY

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．

第I卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么　　　　　　  球的表面积公式　　　

P(A+B)=P(A)+P(B)　　　　  　　　　　

如果事件A、B相互独立，那么　　　　  其中R表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)　　　　　　　　　

如果事件A在一次试验中发生的概率是　　球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k　　　　

次的概率　　　　 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合（　I　B）=　　（　　）

　　　 A．{1}　　　　　　　　　 B．{1，2}　　　　　　 C．{2}　　　　　　　　　 D．{0，1，2}

2．设复数：为实数，则x=　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．－2　　　　　　　　　 B．－1　　　　　　　　　 C．1　　　　　　　　　　　 D．2

3． “a=b”是“直线”的　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　　　　　B．必要不充分条件

　　　 C．充分必要条件　　　　　　　　　　　　　　　　D．既不充分又不必要条件

4．的展开式中，含x的正整数次幂的项共有　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．4项　　　　　　　　　B．3项　　　　　　　　　C．2项　　　　　　　　　D．1项

5．设函数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．周期函数，最小正周期为　　　　B．周期函数，最小正周期为

　　　 C．周期函数，数小正周期为　　　 D．非周期函数

6．已知向量　　 （　　）

　　　 A．30°　　　　　　　　 B．60°

　　　 C．120°　　　　　　　 D．150°

7．已知函数

，下面四个图象中

的图象大致是　　　　　　　　　　　　　 （　　）

8．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．－1　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　 C．－　　　　　　　　 D．

9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

10．已知实数a, b满足等式下列五个关系式　　　　　　　　　　　　　　

　　　 ①0<b<a　　　　　　　　 ②a<b<0　　　　　　　　 ③0<a<b　　　　　　　　 ④b<a<0　　　　　⑤a=b

　　　 其中不可能成立的关系式有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 A．1个　　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　　C．3个　　　　　　　　　D．4个

11．在△OAB中，O为坐标原点，，则△OAB的面积达到最大值时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（　　）

　　　 A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上.

13．若函数是奇函数，则a=　　　　　　　  .

14．设实数x, y满足　　　　　　   .

15．如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

AB=BC=，BB₁=2，，

E、F分别为AA₁、C₁B₁的中点，沿棱柱的表面从E

到F两点的最短路径的长度为　　 　　　　 .

16．以下同个关于圆锥曲线的命题中

　　　 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

　　　 ②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

　　　 ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

　　　 ④双曲线有相同的焦点.

　　　 其中真命题的序号为　　　　　　　 　（写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x₁=3, x₂=4.

　 （1）求函数f(x)的解析式；

　 （2）设k>1，解关于x的不等式；

18．（本小题满分12分）

已知向量.

是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求的取值范围；

（2）求的数学期望E.

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AD上移动.

　 （1）证明：D₁E⊥A₁D；

　 （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

　 （3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为.

21．（本小题满分12分）

已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式a_n.

22．（本小题满分14分）

如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参考答案

一、选择题

1．D　2．A　3．A　4．B　5．B　6．C　7．C　8．C　9．C　10．B　11．D　12．A

二、填空题

13．　　　　 14．　　　　　　　　 15．　　　 16．③④

三、解答题

17．解：（1）将得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③.

18．解：

　　　　

19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

　∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，

，设平面ACD₁的法向量为，则

也即，得，从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量，∴

由　令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁—EC—D的大小为.

21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

　 ∴，命题正确.

2°假设n=k时有

　 则

　

而

又

∴时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

　　 1°当n=1时，∴；

　　2°假设n=k时有成立，

　　　 令，在[0，2]上单调递增，所以由假设

有：即

也即当n=k+1时　成立，所以对一切

　 （2）下面来求数列的通项：所以

,

又b_n=－1，所以

22．解：（1）设切点A、B坐标分别为，

∴切线AP的方程为：

　切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

　 （2）方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②当时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.