高三上学期期中考数学(理科)试题

安溪八中2005-2006年度高三上学期期中考

数学(理科)试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的　

1．复数，则在复平面内对应的点位于　　　 （　 ）

A．第一象限　 　B．第二象限 　 C．第三象限　　 D．第四象限

2．展开式中含系数等于　　（　　）

　　A．6　　　　 B．12　　　 　　C．24　　　　 D． 48

3．　　　　 （　　）

A．1　　　　　 　B　　　　　　　C　　　　　D　不存在

4　　的反函数等于（　　）

　　A　 　　　　　 B　 

C　 　　　D　 

5．下列判断错误的是　 (　　）

　　A．命题“若q则p”与命题“若则”互为逆否命题

　　B．“am²<bm²”是“a<b”的充要条件

　　C．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假

　　D．命题“”为真（其中为空集）

6　若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且=0，则使得<0的x的取值范围是　　(　  )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　A　 (-¥,2)　　 B　(2,+¥)　　　C　 (-¥,2)È(2,+¥)　　 D　(-2,2)

7　 某产品直径误差（单位：mm），其总体密度

曲线如图所示，图中阴影部分的面积是0　8，从中任取一件产品，

该产品的直径误差大b mm的概率是（　 ）

　　A　 0　1　　　 B　 0　2　 C　 0　25　　　D　 0　4

8　在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中点，O是

底面ABCD的中心，P是棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成角的大小为　　　 　　 ( 　 )

A　45º　　　　 B　90º
C　60º　　　　 D　不能确定

9　 已知，则下列函数的图象中错误的是(　　)

10　 二次函数中，，对于任意的都有，设，则　 （　 ）

A　　　　　B　　　　　C　　　　D　的大小关系不确定

11　 已知函数f(x)=在(m,m+1)上是增函数,则m的取值范围是(　  )

　A 　　B　　　 C　　　　 D　

12．已知随机变量ξ的分布列为：

ξ	－2	－1	0	1	2	3
P

若P()=，则实数x的取值范围是(　　)

　A  　　　B　　　　C　（4，9　　  D　

二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上　

13若定义在区间[3-a,5]上的函数是奇函数，则a+b=_______　

14　设y=是二次函数，方程=0有两个相等的实根，且=2x+2　则y=的表达式是　　　　  　 

15　已知f(x)是定义在实数集上的函数，且f ( x + 2) =, 若f ( 1 ) = 2 + , 则f ( 2005) = 　　　　　 

16　定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为　　　　　　 

三、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤　

17　（本小题满分12分）已知，，且，求实数的取值范围　

18　（本小题满分12分）编号1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是　

（1）求随机变量的概率分布；

（2）求随机变量的数学期望和方差　

19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点　

（1）求证：EF⊥面BCD；

（2）求面CDE与面ABDE所成二面角的余弦值　

20　(本小题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2002年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2002年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完　

(Ⅰ)将2002年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；

(Ⅱ)该企业2002年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?

(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

21．（本小题满分12分）已知函数，（为常数），直线与函数　 的图像都相切，且与函数图像的切点的横坐标为1　

　　 （1）求直线的方程和的值；

　　 （2）求函数的最大值　

22．（本小题满分14分）已知函数f（x）=，aR．

(1)当x[a+1，a+2]时，求f（x）的取值范围；

(2)证明：函数y=f（x）的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；

(3)我们利用函数y=f（x）构造一个数列{x}，方法如下：对于给定的定义域中的x，

令x=f（x），x=f（x），…，x=f（x），…

在上述构造数列的过程中，如果x（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x不在定义域中，则构造数列的过程停止　

①如果可以用上述方法构造出一个常数列{x}，求实数a的取值范围；

②如果取定义域中任一值作为x，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x}，求实数a的值　

安溪八中2005-2006年度高三上学期期中考

数学(理科)试题

参考答案

一、选择题：1-5 DCBBB　6-10 DABDA　11-12 DC

二、　填空题： 13　　8 ,　14　 f（x）=x²+2x+1,　15　 　, 16　 [－1，]

三、解答题：

17　（本小题满分12分）

解：由 得  即1<x<2

∴，　　　　　　　　　　　　  3分

由得

∴　　　　　　　　　 　 6分

　　　　　　　　　　 10分

　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18　（本小题满分12分）

（Ⅰ）　　 4分

0 1 2 3 P 0

　 ∴概率分布列为：　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 6分

（Ⅱ）　　　　　　　　　　　　　　  9分

　 12分

注：可以不列出“P（”　

19．（本小题满分12分）

解法一（1）证明：取BC中点G，连FG，AG　

∵AE⊥面ABC，BD//AE，∴BD⊥面ABC，

又AG面ABC，∴BD⊥AG，

又AC=AB，G是BC中点，

∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD　　　　3分

∵F是CD中点且BD=2，

∴FG//BD且FG=BD=1，

∴FG//AE　

又AE=1，∴AE=FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF//AG　

∴EF⊥面BCD　　　　　　　　　　　 　　　　 6分

（2）解：取AB中点H，则H为C在平面ABDE上的射影　过C作CK⊥DE于K，连接KH，由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，

∴∠HKC为二面角C—DE—B的平面角　　　　　　　 8分

易知，，，∴EF⊥CD　又EF=AG=

由，可得　

在RtΔCHK中，，故　

∴面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为　　　　12分

解法二:建立空间直角坐标系求解,比照给分

20　(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）由题意：　将　 　　2分

当年生产x(万件)时，年生产成本＝年生产费用＋固定费用＝32x＋3＝32（3－）＋3，当销售x（万件）时，年销售收入＝150%［32（3－＋3］＋

由题意，生产x万件化妆品正好销完

∴年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费

即（t≥0）　　　　　　  　　　8分

（Ⅱ）∵≤50－＝42万件　　　　　　  10分

当且仅当即t＝7时，y_max＝42

∴当促销费定在7万元时，利润增大　　　　　　　　 12分

21．（本小题满分12分）

解:（1）因为直线与函数图像的切点的横坐标为1，则此切点为，

又　所以切线的斜率，于是切线方程为　　　3分

又，所以切线在函数上的切点也为，

从而　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

（2），令，

　　则，　　　　　　　　　　　　 8分

从而，由，得　

　　所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，

则　　　

　　即　　　 12分

22．（本小题满分14分）

解:⑴f(x)=－1－在[a+1，a+2]上是增函数，又f (a+1)=－2，f (a+2)=－，

f (x)[－2，－]

(2)证明：设点P（x，y）是函数y=f (x)图象上任一点，则y=－1－，

点P关于点（a，－1）的对称点为（2a－x，－2－y）　

f (2a－x)=－2－y，即点（2a－x，－2－y）在函数y=f (x)的图象上，

所以函数y=f (x)的图象关于点（a，－1）成中心对称图形　

（3）①根据题意，只需xa时，f(x)=x有解，即有解，

即x+(1－a)x+1－a=0有不等于a的解　

将x=a代入方程左边，得左边=1，故方程不可能有解x=a　

由△0时，得a－3或a1，即为所求实数a的取值范围　

②根据题意， 在R中无解，即xa时，（1+a）x=a+a－1无解　

由于x=a不是方程（1+a）x= a+a－1的解，

所以对于任意xR，（1+a）x= a+a－1无解　

a=－1，即为所求a有值