2007届高三第二次联考数学试卷
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟·
2．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．
3．请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答题．
4．本试卷主要考试内容：①第一次联考内容占30％；②函数内容占70％．
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M={y y=x+1}，N={(x，y)x
2 +y 2 =1}，则M
N中元素的个数是
A．0 B．1 C．2 D．多个
2．已知复数
=a+i，z2=1+a 2 i，若
是实数，则实数a的值等于
A．1 B．－1 C．－2 D．2
3．函数
在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为
，最大值与最小值之积为
，则a等于
A．2 B．
C．2或 D．
4．若函数f (x)= e xsin x，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为
A．
B．0 C．钝角 D．锐角
5．已知实数a、b满足等式
，下列五个关系式：
① 0<a<b<1；② 0<b<a<1； ③ a=b；④ 1<a<b；⑤ l<b<a．
其中不可能成立的关系式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2006)等于
A．0 B．1 C．一1 D．2
7．设f (x)的定义域为R且存在反函数，若f (2x－1)与
互为反函数，且已知
存在，则)等于
A．1 B． C．2 D．
8．函数
在[2，+
]上恒为正数，则实数a的取值范围是
A．0<a<1 B．1<a<2 C．1<a<
D． 2<a<3
9．连掷两次骰子分别得到点数m、n，则向量(m，n)与向量(－1，1)的夹角
的概率是
A． B．
C． 
D． 
10．已知函数f (x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，则不等式f (x) cosx<0的解集是
A．(－3，－)
(0，1)(，3)
B．(－，一1)(0，1)(，3)
C．(－3，－1)(0，1)(1，3)
D．(－3，－)(0，1)(1，3)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上
11．在平面直角坐标系中，x轴的正半轴上有4个点，y轴的正半轴上有5个点，这9个点任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个.
12．已知函数
在(－∞，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是_________________.
13．若
，则
______(用数字作答).
14．如图正六边形ABCDEF中，AC∥y轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能
确定一条形如y=ax
2+bx+c (a≠0)的抛物线的概率是_______________.
15．购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”
(每月须交的固定月租费)50元，在市区通话时每分钟另收
话费0.4元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，
但市区内通话时每分钟另收话费0.6元．若某用户每月手机
费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买__________卡
较合算.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
16．(本小题满分12分)
二次函数f (x)满足f (x+1)－f (x)=2x，且f (0) =1.
(1) 求f (x)的解析式；
(2) 在区间[－1，1]上，y=f (x)的图象恒在y=2x十m的图象上方，试确定实数m的取值范围．
17．(本小题满分12分)
小张有一只放有a个红球，b个黄球，c个白球的箱子，且a+b+c =6 (a，b，c
N)，小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.
(1) 用a、b、c表示小张胜的概率；
(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a、b、c的值.
18．(本小题满分14分)
已知函数f (x) = (x－a)(x－b)(x－c).
(1) 求证：
= (x－a)(x－b)+(x－a)(x－c)+(x－b)(x—c)；
(2) 若f (x)是R上的增函数，是否存在点P，使f (x)的图象关于点P中心对称?
如果存在，请求出点P坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由．
19．(本小题满分14分)
某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p％的管理费(即销售100元要征收p元)，于是该商品的定价上升为每件
元，预计年销售量将减少p万件.
(1) 将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
(2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p％的范围是多少?
(3) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少?
20．(本小题满分14分)
已知函数y= f (x)对于任意实数x，y都有f (x+y) =f (x)+f (y)+2xy .
(1) 求f (0)的值；
(2) 若f (1)=1，求f (2)，f (3)，f (4)的值，猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n∈N*)；
(3) 若f (1)≥1，求证：
(n∈N*)．
21．(本小题满分14分)
定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意x，y∈(－1，1)都有
(1) 求证：函数f (x)是奇函数；
(2) 若当x∈(－1，0)时，有f (x)>0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数；
(3) 在(2)的条件下解不等式：
．
参考答案(湖南专用理科)
一、选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 9．D 10．B
二、填空题11．60 12．
13．0 14．
15．神州行
提示：
1．A 集合M是函数y=x+l的函数值的集合，集合N是圆上的点集.
2．B 
，故a 3+1=0，得a =－1.
3．B． 函数f(x)在区间[1，2]上是单调的，故有f(1)+f(2)=－
，f(1)f(2)=－
，所以可解得
.
4．C 
.
5．B 根据图象知：只有②、③、④有可能成立.
6．B 由已知f (3x+1)=f[3(x+3)+1]=f(3x+1+9)，所以f(x)的周期为9，f(2006)=
f(2007－1)=f(－1)=－f(1)=1.
7．A 由已知得
，两边取极限可得.
8．C 4－2A+2>0，得a<3．令g(x)=x2－ax+2，则g(x)最小为g(2)=6－2a．
当a>l时，6－2a>1，得1<a<
当0<a<l时，
g(x)在[2，+)上无最大值，这时符合题意的a值不存在.
9．D 若使夹角，则有－m+n<0即m>n，其概率为
.
10．B 根据题意结合右边图象可得.
11．60 构造凸四边形，凸四边形对角线的交点在凸四边形
内．最多其有
=60.
12． 根据题意：
.
13． 0 两边求导，再分别把x赋值x=2，x=0，最后把所得两式相乘即得.
14． 由二次函数的性质知三点可确定一条抛物线，但两点连线不能与纵轴平行，
故其概率为
.
15．神州行 “全球通”卡的话费为120元时的通话时间为175分钟，“神州行”卡的话费120元时通话时间为200分钟，则“神州行”卡较合算．
三、解答题
16．解：(1)令z=0，则f(1)－f(0)=0，∴f(1)=f(0)=1，
∴二次函数图象的对称轴为x=，
∴可令二次函数的解析式为y= a (x一)2+h ………………………2分
由f(0)=0，又可知f(－1)=3得a=1，h=
∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x一)2+=x2－x+1 ……………6分
(2)∵ x2－x+1 >2x+m在[－1，l上恒成立，
∴ x2－3x+1>m在[－l，1]上恒成立． ………………………………8分
令g(x)= x2－3x+1，∴g(x)在[一1，1]上单调递减，……………………10分
∴ g(x)min=g(1)=－l，∴m<－1． …………………………………………12分
17．解：(1)P(小张胜)=P(两人均取红球)+P(两人均取黄球)+P(两人均取白球)
=
+ 
+ 
=
……………………………5分
(2)
设小张的得分为随机变量
，则
P(=3)= ，P(=2)= ，P(=1)= ，
P(=0)=1一P(小张胜)=1一，……………………………9分
∴E=3×+2×+1×+0×(1一)
= 
∵ a，b，c∈N，a+b+c=6，∴b一=6，此时a=c=0，
∴当b=6时，E‘=虿1+袅=了2，此时a=c=0，b=6…………………12分
18．解：(1) ∵f(x)= (x－a)(x－b)(x－c)=x3－(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x—abc …3分
∴ =3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)
=[x2－(a+b)x+ab]+[x2－(a+c) x+ac]+[x2－(b+c)x+bc]
=(x－a)(x－b)+(x－a)(x—c)+(x－b)(x－c) …………………7分
(2) ∵f(x)是R上的单调递增函数，∴≥0对x∈R恒成立，
即3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ac)≥0对x∈R恒成立
∴ △≤0， 4(a+b+c)2－ 12(ab+bc+ca)≤0，
∴ (a－b)2+(a一c)2+(b一c)2≤0， ∴a=b=c．
∴ f(x)= (x—a)3， f(x)关于点(a，0)对称 ………10分
证明如下：设点P(x，y)是f(x)= (x—a)3图象上的任意一点，y= (x—a)3，
点P关于点(a，0)对标的点P’(2a－x，－y)，
∴ (2a－x一a)3=(a－x)3=－(x一a)3=－y，
∴点P’在函数f(x)= (x—a)3的图象上，即函数f(x)= (x—a)3的图象关于点(a，0)对称 ………………………………………………………14分
19．解：(1)依题意，第二年该商品年销售量为(11.8－p)万件，
年销售收入为 (11.8一户)万元，
则商场该年对该商品征收的总管理费为 (11·8一p)p％(万元)
故所求函数为
y=
由11.8－p>0及p>0得定义域为0<p<11.8 ……………………………6分
(2) 由y≥14得≥14
化简得p2－12p+20≤0，即(p－2)(p－10)≤0，解得2≤p≤l0
故当比率为[2％，10％]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．…10分
(3) 第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g(p)= 
(2≤p≤10)
∵ g(p)= =700(10+
)为减函数，
∴ g(p)max =g(2)=700(万元)
故当比率为2％时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元 ………………………14分
20．(1) 解：令x=y=0，则f(0)=2f(0)，∴f(0)=0 …………………2分
(2) 解：∵f (1)=l，∴f(2)=2f(1)+2=4，
f(3)=f(2)+f(1)+4=9，
f(4)=f(3)+f(1)+6=16，
猜想：f (n)= n 2 (n∈N*)，下面用数学归纳法证明：……………………4分
当n=1时，显然成立·
假设n=k (k∈N*)时成立，则有f (k)= k 2
当n=k+1时，
f (k+1)=f(k)+f(1)+2k= k 2+1+2k= (k+1)2，结论也成立．
故f (n)= n 2 (n∈N*)成立 ……………………………………………8分
(3) 证明：∵f(1)≥1，∴f(1)=2f()+≥ l，
∴ f
()≥
>0
……………………………………………10分
可以证明
.
假设n=k (k∈N*)时结论成立．即
，则
∴
∴
即n=k+1时也成立，
∴ (n∈N*) …………………………………………14分
21．(1) 证明：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，故f(0)=0
令x+y=0，则f(x)+f(－x)=f(0)=0，即f(－x)=－f (x)，
∴函数f (x)是奇函数 ………………………………………………4分
(2) 证明：设
，
∈(－1，1)，且<，则
∵ ，∈(－1，1)，且<，
∴ －<0，－1<<1 ，(+1)(－1)<0
∴ 
，
，即f()>f()
∴ 函数f(x)在(－1，1)上是减函数．………………………………………9分
(3)解：∵
函数f(x)在(－1，1)上是减函数，
∴ 
∴ 
∴原不等式的解集为{x}…………………………………14分