2007届高三理科数学测试试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分.考试用时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)
一、选择题 (每小题5分,共40分)
1．下列各组两个集合
和
,表示同一集合的是（ ）
=
,=
=
,=
=
,=
=
,=
2．已知复数
，
，则
在复平面上对应的点位于（ ）
第一象限 第二象限
第三象限 第四象限
3. 函数
的图象的大致形状是
( )
4.有关命题的说法错误的是 ( )
命题“若
则
”的逆否命题为：“若
, 则
”.
“”是“”的充分不必要条件.
若
为假命题，则
、
均为假命题.
对于命题
：
使得
. 则
：
均有
.
5. 已知
的值是
( )
7
6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对
、
两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数
与残差平方和
如下表：
| 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | |
|
| 0.82 | 0.78 | 0.69 | 0.85 |
|
| 106 | 115 | 124 | 103 |
则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（ ）
甲
乙
丙 丁
7．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等
的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这
个几何体的体积为 ( )
1 
8．
已知公差不为零的等差数列
与等比数列
满足：
，那么 ( )
二.填空题(每小题5分,共30分)
9.已知向量
，
，且
，则x= __________．
10．函数
的最小正周期是 .
11．在约束条件
下，目标函数
=
的最大值为
.
12．.已知
,
则
的最大值为
.
13．利用均值不等式判断下面两个数的大小: 已知
, 则
与
的大小关系, (用“
”符号填写).
14．在如下程序框图中，输入
，则输出的是__________
第Ⅱ解答题(共80分)
15． (本题满分12分)
设
，解不等式
.
16.
(本题满分12分) 长方体
中，
，
，
是侧棱
的中点.
（1）求证：直线
平面
；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）求二面角
的平面角的余弦值.
17．（本题满分14分）知函数
（
周期为
.
求：当
时
的取值范围.
18．（本题满分14分）已知数列
的前n项和
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式;
（Ⅱ）设
,求数列
的前n项和.
19．（本题满分14分） 已知实数
有极大值32.
（1）求函数
的单调区间；
（2）求实数
的值.
20．（本题满分14分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（－2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围.
2007届高三理科数学测试试题
答案及评分标准
一、选择题答案
ADDCB DDC
二、填空题
| 题号 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 答案 | 2 |
| 2 | 6 |
|
|
三、解答题
15．解：（1）当
时，原不等式等价于
，即
或
…………3分
∴． ……………………………………………………………………………5分
（2）当
时，原不等式等价于
，即
或
…………8分
∴． ……………………………………………………………………………10分
综上所述，不等式的解集为
． ………………12分
16．解：（1）依题意：
，
，……………………………………………2分
则
平面
.……………………………………………………………………………3分
（2）
…………………3分（写出公式得2分，计算1分）
（3）方法一：向量法
以D为原点，DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
A（1，0，0），A1（1，0，2），D1（0，0，2），E（1，1，1）
∴
……………………………………………………………5分
设平面AD1E的法向量为
，即
令
，则
……………………………………………………………………7分
又
是平面AA1D的法向量，则 ……………………………………………8分
，……………………………………………10分
而二面角为锐二面角，故其余弦值为
………………………………12分
方法二：传统法（供参考）
取
的中点
，连
，则
、
，
所以
平面
.过
在平面
中作
，交
于
，连
，则
,
所以
为二面角
的平面角
.在
中，
所以
。
17．解：
……………… 4分（每个公式的应用得2分）
………………………………………………………… 6分
因为
，所以
…………………………………………………………
8分
…………………………………………………………………… 9分
因为
，所以
…………………………………………………
10分
………………………………………………………………… 12分
故 
………………………………………………………………………… 14分
18．(Ⅰ)当
时,
………………………………………………2分
故
,………………………………………5分
即数列的通项公式为
…………………………………………………………… 7分
(Ⅱ)当时,
…………………………………………………………8分
当
………………………………………………9分
故
…………………………………………………………………10分
…………………………12分
由此可知,数列的前n项和
为 
………………
14分
19．解：（1）
………………………………………………………3分
令
…………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………5分
…………………………………7分
∴函数
的单调递增区间为
∴函数的单调递减区间为
…………………………………………………9分
时，取得极大值……………………………………………………11分
即 
解得 a=27 …………………………………………………………………………14分
20．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
∵该直线与圆
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为
……………………………………………2分
故设双曲线C的方程为
，又∵双曲线C的一个焦点为
∴
，∴双曲线C的方程为
……………………………4分
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使QT=OF1
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使QT=QF1
根据双曲线的定义TF2=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
① ………………………………………6分
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（
）
则
代入①并整理得点N的轨迹方程为 
…………………8分
（3）由
令
直线与双曲线左支交于两点，等价于方程
上有两个不等实根.
因此
……………………………………………10分
又AB中点为
∴直线L的方程为
……………………………………12分
令x=0，得
∵
∴
∴故b的取值范围是
…………………………………………14分