2007届高三数学摸底题 （理）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的班级、姓名、座号。
2．答题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效.
3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).
第Ⅰ卷 选择题(共40分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且
只有一个是正确的.
1． 不等式
的解集是( ).
A．
B．
∪
C． 
D．∪
2． 已知下列命题(其中
为直线，
为平面)：
① 若一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③ 若
，
，则
；
④ 若，则过
有唯一与
垂直.
上述四个命题中，真命题是( ).
A．①，② B．②，③ C．②，④ D．③，④
3． 已知
，则
的值是( ).
A．
B．
C．
D．
4． 下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是( ).
A. p：
； q：
.
B. p：在△ABC中，若
，则
；
q：
在第一象限是增函数.
C. p：
；
q：不等式
的解集是
.
D. p：圆
的面积被直线
平分；
q：椭圆
的一条准线方程是
.
5．
设复数
，则
的展开式（按
升幂排列）的第5项是(
).
A．
B．
C．
D．
6.
设动点A, B（不重合）在椭圆
上，椭圆的中心为O，且
，
则O到弦AB的距离OH等于( ).
A．
B．
C．
D．
7．在等比数列
中,
,前
项和为
,若数列
也是等比数列,则等于( ).
A．
B．
C．
D．
8．某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要到第2层至第20层，每层1人.电梯只在中间某一层停1次，可知电梯在第3层停的话，则第3层下的人最满意，其中有1人要下到第2层，有17人要从第3层上楼，就不太满意了.假设乘客每向下走一层的不满意度为1，向上走一层的不满意度为2，所有的不满意度之和为S，为使S最小，则电梯应当停在( ).
A．第12层 B．第13层 C．第14层 D．第15层
第Ⅱ卷 非选择题(共110分)
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知
是R上的连续函数，则
.
10．已知
则
的最大值是 ，
的最小值是 .
11．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6}，B={1, 3, 5, 7, 9}， 集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集
合，则
∩
的概率是____________.
12．已知直线
与圆
相切，则
的值为
。
13．水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是
14．设
，函数
有最大值，则不等式
的解集为
。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分12分）
已知函数
，
求（1）函数
的最大值及取得最大值的自变量
的集合；
（2）函数的单调增区间．
16．（本小题共 12 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
17．（本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且 PA=PB，点 E 是 PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求证：PB//平面 AEC；
（Ⅲ）求二面角 E—AC—B 的大小.
１8．（本小题满分14分）设
分别为椭圆
的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
为它的右准线。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线
分别与椭圆相交于异于的点
，证明点
在以
为直径的圆内。
19．（本小题满分13分）已知二次函数
的图像经过坐标原点，其导函数为
，数列
的前n项和为，点
均在函数的图像上。
（Ⅰ）、求数列的通项公式；
（Ⅱ）、设
，
是数列
的前n项和，求使得
对所有
都成立的最小正整数m；
20．（本题满分15分）已知函数
＝＋
有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在
0，
上是减函数，在
，＋∞
上是增函数．
（1）如果函数＝＋
（＞0）的值域为6，＋∞，求
的值；
（2）研究函数＝
＋
（常数
＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数＝＋和＝＋
（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数
＝
＋
（是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．