2006年朝阳市重点高中高三第一次模拟联合考试
数学试卷 2006.03.24
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目求的。）
1．设集合
，
，那么P（2，3）∈A∩（CuB）的充要条件是
（
）
A. 
＞-1且
＜5 B. ＜-1且＜5 C. ＞-1且＞5 D. ＜-1且＞5
2．函数
的最小正周期为
A．
B． 
C．
D．
3． 已知向量
且
与
平行，则
等于
A．－6 B．6 C．4 D． －4
4．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若
；②若m、l是异面直线，
；③若
；
④若
其中为假命题的是
A．① B．② C．③ D．④
5．一组数据的方差为2，将这组数据中每个扩大为原数的2倍，则所得新的一组数据的方差是
A．16 B．8 C．4 D．2
6．把语文、数学、物理、历史、外语这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比历史先上，则不同的排法有
A．48 B．24 C．60 D．120
7．设命题甲：平面内有两定点
和动点P，使
是定值；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是
A． 74 B． 121 C． －74 D． －121
9．已知数列
的通项公式为
，设其前n项和为Sn，则使
成立的自然数n
A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31
10．正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是
A．6 B．10 C．12 D．不确定
11．编辑一个运算程序：1&1 = 2 , m & n = k , m & (n + 1) = k + 2，则 1 & 2006 的输出结果为
A．4006 B．4008 C．4010 D．4012
12．若函数
的图象如图所示，则m的取值范围为
A．
B．
C． 
D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n =______
14．已知
、
为双曲线
的焦点，M为双曲线上一点，MF1垂直于轴，且
，则该双曲线的离心率为
15．实系数方程
的两根为
，且
，则
的取值范围是
16．若
为
的各位数字之和
．如：因为
，
所以
．记
，
，…，
，
，则
三、解答题（19、20每题12分，21、22、23每题14分）
17．（12分）已知向量
，向量，与向量的夹角为
，且
=-1
(1)求向量；
(2)设向量
=(1,0)，向量
，其中0＜＜
，若
=0，试求｜
︱的取值范围。
18．（12分）设函数
的图像关于原点对称，
的图像在点
处的切线的斜率为-6，且当
时有极值。
（1）
求、b、c、d的值；
（2）
若
、
，求证：︱
︱≤
。
19．（12分）一台仪器每启动一次都随机地出现一个10位的二进制数
，其中A的各位数字中，
，
出现0的概率为
，出现1的概率为
，例如：
，其中
，
，
记
。当启动仪器一次时，
（1）求
的概率；（2）求
，且有3个1连排在一起其余无任2个1连排在一起的概率。
20．（14分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是2，点A1与
AB、AC的距离都等于
，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F.
（1）求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
（2）求点A到平面B1BCC1的距离；
（3）求平面A1EF与平面A1B1C1所成二面角的大小.
21．（14分）已知二次函数
的图象过点
，且
（1）求
的解析式；
（2）若数列
满足
，且
，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中的数列，求证：①
；②
。
22．（14分）抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然。如图所示，今有抛物线
，一光源在点
处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线
上的点N，再反射后又射回点M。（1）设P、Q两点的坐标分别是
，证明：
。（2）求抛物线方程。
 |
参考答案
一、选择题（60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | A | D | C | B | C | B | D | A | A | D | B |
二、填空题（24分）
13．200
14．
15．
16．5
三、解答题
17. 解：（1）令
，则
即
或
，故
或
（2）
故
=
=
=
＜
＜
＜
＜
则-1≤
＜
∴≤
＜
故
≤
＜
.
18．解：（1）
的图象关于原点对称，∴由
恒成立有
.
则
又
∴
故
（2）
＜0，
在
[-1，1]上递减而
∴
≤
≤
即
≤≤
∴
≤同理可得
≤∴
≤+≤
故≤.
19．（1）
；
（2）
（注：分三类1110---；110---；10---）
20． 证明（1）
.
∴平面A1EF⊥平面B1BCC1.…………………………………………3分
（2）由于A1A//平面B1BCC1，故点A、A1与平面B1BCC1的距离相等.
∵ABB1A1为菱形，故A1E=A1F=.∵B1B⊥平面A1EF，
EF
平面A1EF，∴BB1⊥EF，从而EF=BC=2.
∴△A1EF是等腰直角三角形。取EF中点M，则A1M⊥EF，且A1M=1.
从而A1M⊥平面B1BCC1，即A1M是点A1与平面B1BCC1的距离，
∵点A与平面B1BCC1的距离为1.……………………………………7分
（3）设平面A1EF与平面A1B1C1所成的二面角的棱为直线l，取B1C1的中点N，
则A1N⊥B1C1，但B1C1//EF，∴B1C1//平面A1EF，于是B1C1//l，
在△A1B1C1中，A1N=
∴A1M⊥l，A1N⊥l，
即∠MA1N为所求二面角的平面角.……………………………………10分
∵A1M⊥平面B1BCC1，∴A1M⊥MN. ∴cos∠NA1M=
，
故所求二面角的大小为
……………………………12分.
21．（1）
；
（2）
；
（3）①
(
)
当
时，显然成立；
当
时，
；
②
，
，所以不等式成立
22．解（1）由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点
，
设
，代入抛物线方程得：
，
（6分）
（2）由题意知
，设点M关于直线
的对称点为
，则有：
，由此得
，又P，F，Q三点共线
，即
．抛物线方程为
．（14分）