杭州第一次月考文试卷

2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学试题卷（文科）

考生须知:　　　　　

1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.

2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.

3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.

4. 考试结束, 只需上交答题卷.

参考公式　

如果事件互斥，那么;

如果事件相互独立，那么;

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率_.

一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 .

1. 不等式 x + 3 > x + 3 的解是 (　　 )

　　　 (A) x > 0　 (B) x < 0　 (C) x <－3　 (D) x £ －3

2. 若f ( x ) = x³，f `( x₀) =3，则x₀的值为（　 ）

(A)1　　　　(B) –1　　　  (C) ±1　　　　 (D)3

3. 函数y＝sin(2x+)的图象可由函数y=sin2x的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 (　　　)

(A)向左平移　　　　　　(B)向右平移　 (C)向左平移　　(D)向右平移

4.在数列{a_n}中，已知a₁ = 1, 且当n ≥2时，a₁a₂ … a_n = n²，则a₃ + a₅等于（　　 ）

(A)　　　 (B) 　　　(C) 　　　(D)  

5. 下面给出四个命题：

(1) 对于实数m和向量a、b恒有：m(a – b) = ma – mb;

(2) 对于实数m,n和向量a，恒有：(m – n)a = ma – na;

(3) 若ma = mb (m∈R，m¹0 ), 则a = b;

(4) 若ma = na (m,n∈R,a ≠ 0), 则m = n.

其中正确命题的个数是 (　　 )

(A)1　　　　　　　 (B)2　　　　　　　 (C)3　　　　　　　 (D)4

6. 函数f ( x ) = 8sin(2x + )cos(2x + )的最小正周期是(　　 )

（A）4p　　　　 （B）p 　　 （C）　　  (D)  

7. 一个单位有职工80人，其中业务人员56人，管理人员8人，服务人员16人，为了解职工的某种情况，决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为10的样本，每个管理人员被抽到的概率为（　　　）

　(A)　　　　　 (B)　　　　  (C)　　　　 (D)

8. 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中，选出3个偶数2个奇数重新排列，可得六位数的个数为（　　）

(A)　　　(B)　　　　(C) 　　　　　　 (D) 　　

9．已知f (x) = 1 – ( x – a )(x – b )，并且m，n是方程f (x) = 0的两根，则实数a, b, m, n的大小关系可能是（　 ）

(A) m < a < b < n　　　　　　　　　　(B) a < m < n < b

(C) a < m < b < n　　　　　 　　　　　(D) m < a < n < b

10. 设是从这三个整数中取值的数列. 若且, 则当中取零的项共有（　　）

(A) 10　　(B) 11　　(C) 15　　(D) 25

二．填空题: 本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 把答案填在答题卷的相应位置.

11. 函数y=的单调递增区间是　　　　　　　 　.

12. 已知a = (1，–2)，b = ( 4, 2), a与b的夹角为q, 则q等于 　　　　　  .　.

13. 若血色素化验的准确率是p, 则在10次化验中，有两次不准的概率　　　　　   .

14. 观察下列式子：

，

则可以猜想的结论为：___________________________.

三. 解答题: 本大题有6小题, 每小题14分，共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

　　已知a、b、c是△ABC中A、B、C的对边, 关于x的方程b (x ² + 1 ) + c (x ²– 1 ) –2ax = 0 有两个相等的实根, 且sinCcosA – cosCsinA=0, 试判定△ABC的形状.

　　

16. (本小题满分14分)

　 解不等式log₃(x² – 6x + 8 ) – log₃x < 1　　　　 

17．(本小题满分14分)

设S_n是首项为4, 公差d ¹ 0的等差数列{a _n}的前n项和，若S₃和S₄的等比中项为S₅. 求:

(1) {a_n}的通项公式a_n;

(2) 使S_n> 0的最大n值.

18 . (本小题满分14分)

已知向量a = ( sinx , 0 ), b = (cosx, 1), 其中 0 < x <, 求a –b 的取值范围.

19． (本小题满分14分)

设函数，试求函数f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.

20. (本小题满分14分)

某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x + 45x² – 10x³(单位：万元), 成本函数为C (x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:

(1) 利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);

　　(2) 年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?

　　(3) 边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

 

2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

数学参考评分标准（文科）

 

一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	C	C	A	B	D	C	C	A	A	B

 二．填空题: （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）

11.  ( – ¥ ,3]　　　　　　　  .　　　　　 12.　　　　.　.

13.  　 14. .或.

三. 解答题: （本大题有6小题, 每小题14分，共84分）

15. (本小题满分14分)

　　∵(b + c)x ² –2ax + (b – c ) = 0有相等实根，　

∴⊿= 4a ² – 4( b + c )(b – c) = 0，　　　　　　　　　  　　　　　　　　 3分

∴ a ² + c ² – b ² = 0，　

∴ B = 90° .　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

　　 又sinCcosA – cosCsinA=0 ,

　　 得 sin (C – A) = 0, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

 ∵–< C – A <  . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

 ∴ A = C.

　　 ∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形.　　　　　　　　　　　　　　 3分

16. (本小题满分14分)

　　 由，得0 < x< 2 或x > 4 .　　　　　　　　　　　　　  4 分

不等式化成：log₃(x² – 6x + 8 ) <log₃3x　　　　　　　　　　　　　　　 4分

得x² – 9x + 8< 0.  

即（x – 8 )( x – 1) < 0,

解得 1< x < 8时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  4分

综上得不等式的解为 1 < x < 2或 4 < x < 8.　　　　　　　　　　　　　 2分

17．(本小题满分14分)

　由条件得: ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　 ∵S _n = a₁n + n(n – 1 )d,

   ∴, ∵d ¹ 0 ,得,　　　　　　　　　　 

∴a _n = .　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 5分

(2) 由a _n = ³0,

　 得n £, ∴n = 2时, S_n取最大值,

∴使S_n> 0的最大n的值为4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  5分

18 . (本小题满分14分)

解1:　a –b ² = (cosx–sinx, ) ²　　　　　　　　　　　　 2分

= (cosx–sinx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　  3 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 3分

　　Œ 0 < x < ,  ∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　  2分

 ∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 2分

得 a –b Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

解2:　a –b ² = a ² – a·b + b ²　　　　　　　　　　 2分　

　　　 = sin²–sinxcosx + (cos²x +1)　　　　　　　　　　　　　  2分

=sin²–sinxcosx + cos²x +

= (cosx – sinx)² +　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 分

= sin²(x – ) +.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

　　Œ 0 < x < ,  ∴–< x - < ,　　　　　　　　　　　　　　　  2分

 ∴ 0 £ sin²(C– ) < ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

得  a - b ²　Î [, ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

19． (本小题满分14分)

　 由条件得：f (x )=，　　　　　　　　　　　　 4分

　 ∵a > 0,　　　　　　　

　 ∴ – (1 + a )< 0, f (x )在（–∞，a）上是减函数.

　 如果函数f (x )存在最小值，则f (x )在[a,+ ∞)上是增函数或常数.

　 ∴1 – a ³ 0,

　 得a £ 1,

　 又a > 0, ∴0< a £ 1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  5分

　 反之，当0< a £ 1时，

　 (1 – a ) ³ 0, ∴f (x )在f[a,+ ∞)上是增函数或常数.

–(1 + a )< 0, ∴f (x )在（–∞，a）上是减函数.

∴f(x )存在最小值f（a）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　 综合上述f (x )存在最小值的充要条件是0< a £ 1，此时f (x)_min = – a²　　　　 3分

20. (本小题满分14分)

 (1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x³ + 45x² + 3240x – 5000　(xÎN且xÎ[1, 20]); 　3分

　 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x² + 60x +3275　 (xÎN且xÎ[1, 20]). 　 2分

(2) P`(x) = – 30x² + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12)　(xÎN且xÎ[1, 20])　　 3分

　　　 当1£ x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增,

　　　 当 12 <x £ 20时, P`(x) < 0 , P ( x ) 单调递减.

　  ∴ x = 12 时, P(x)取最大值,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大.　　　　　　　　　　　  4分

 (3) 由MP(x ) =　– 30( x – 1) ² + 3305　 (xÎN且xÎ[1, 20]).

　　∴当1< x £ 20时，MP (x)单调递减.　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分