2005南京市高三第二次质量检测(数学)
一．选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)
1. 
等于( )
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
2. 已知
则
p是q的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要充分不条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 已知向量
, 则
的最小值是( )
A. 1
B. 
C. 
D.
2
4. 已知圆C: 
则过原点且与圆C相切的直线方程为 ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 已知A是三角形的内角, 且
, 则
等于( )
A. 
B.
－
C. 
D.
－
6. 已知等差数列
的公差
, 若
, 
, 则该数列的前n项和
的最大值为( )
A. 50 B. 45 C. 40 D. 35
7. 函数
则
是 ( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数
8. 设函数
则
的值为( )
A. a B. b C. a, b中较小的数 D. a, b中较大的数
9. 已知平面α,β分别过两条互相垂直的异面直线l, m, 则下列情况: (1) α∥β; (2) α⊥β(3) l∥β; (4) m⊥α中, 可能成立的有 ( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
10. 现有6人分乘两辆不同的出租车, 每辆车最多乘4人, 则不同的乘车方案数为( )
A. 70 B. 60 C. 50 D. 4
11. 设集合
,
. 若点
,则
的最小值为( )
A. －6 B. 1 C. 4 D. 5
12. 已知点
, 又
是曲线
上的点, 则 ( )
A. 
B.
C. 
D. 
二．填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13. 某地区有A, B, C三家养鸡场, 鸡的数量分别为12000,8000,4000只, 为了预防禽流感, 现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情, 则从A, B, C三家鸡场分别抽取的个体数为 , ,
.
14. 已知球O的一个截面的面积为
, 球心O到这个截面的距离为1, 则该球的体积为 .
15. 若函数
的定义域和值域都是
, 则实数a等于 .
16. 甲、乙两名蓝球运动员投蓝的命中率分别为
与
, 设甲投4球恰好投进3球的概率为
,乙投3球恰好投进2球的概率为
.则与的大小关系为 .
三．解答题(本大题6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）已知函数
的图象(部分)如图所示.
(1) 求函数的解析式;
(2) 若函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象, 求向量m
18.（本小题满分12分）如图, 已知直三棱柱, ABC—A1B1C1的侧棱长为2, 底面△ABC是等腰直
角三角形, 且∠ACB＝90°, AC＝2, D是AA1的中点.
(1) 求异面直线AB和C1D所成的角 (用反三角函数表示);
(2) 若E为AB上一点, 试确定点E在AB上的位置, 使得A1E⊥C1D;
(3) 在(2)的条件下, 求点D到平面B1C1E的距离.
19.（本小题满分12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下: 用x单位量的水清洗一次以后, 蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为
.(1) 试解释
的实际意义;
(2) 现有
单位量的水, 可以清洗一次, 也可以把水平均分成2份后清洗两次. 哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少? 请说明理由.
20.（本小题满分12分）已知
(1)当
时, 求证在
内是减函数;
(2)若在内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.
21.（本小题满分12分）如图, 
, 
是双曲线C的两焦点, 直线
是双曲线C的右准线, A1,
A2双曲线C的两个顶点, 点P是双曲线C右支上异于A2的一动点, 直
线A1P,A2P交双曲线C的右准线分别于M, N两点.
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 求证: 
是定值.
22.（本小题满分12分）如图, 把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形, 且在每个小三角
形的顶点上都放置一个非零实数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶
点上实数的乘积相等. 设点A为第一行,…, BC为第n行, 记点A上的数为
,…, 第i行中
第j个数为
. 若
.
(1)求
;
(2)试归纳出第n行中第m个数
的表达式 (用含n , m的式子表示, 不必证明)
(3)记
证明: 
数 学 参 考 答 案 2005－3－4
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | A | B | C | B | B | A | D | D | C | C | C |
二. 填空题（每小题4分, 共16分）
13.
60, 40, 20
; 14. 
; 15.
; 16.
;
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解: (1)根据图象,
………(1分)∵周期
∴
.………(3分)
当
时, 
∴
. ∵
∴
…………(5分)
∴
…………(6分)
(2)函数的图象按向量平移后,得到
即的图象, …………(8分)
∵
∴
, ∴
18．（本小题满分12分）
解: (1) 取CC1的中点F, 连接AF, BF, 则AF∥C1D.
∠BAF为异面直线AB与C1D所成的角或其补角.…………(1分)∵△ABC为等腰直角三角形,
AC＝2, ∴AB＝2.又∵CC1＝2, ∴AF＝BF＝
.
∵
∴
∴即异面直线AB与C1D所成的角为
……(4分)
(2) 过C1作C1M⊥A1B 1, 垂足为M, 则M为A1B1的中点,且C1M⊥平面AA1B1B. 连接DM.
∴DM即为C1D在平面AA1B1B上的射影.…………(5分)
要使得A1E⊥C1D, 由三垂线定理知, 只要A1E⊥DM.…………(7分)
∵AA1＝2, AB＝2, 由计算知, E为AB的中点.…………(8分)
(3)连接DE, DB1. 在三棱锥
中, 点C1到平面DB1E的距离为,
B1E＝
, DE＝, 又B1E⊥DE, ∴△DB1E的面积为
∴三棱锥C1—DB1E的体积为1.…………(10分)
设点D到平面
的距离为d, 在△中, B1C1＝2, B1E＝C1E＝,
∴△B1C1E的面积为.
由
得
, 即点D到平面的距离为
.…………(12分)
19．（本小题满分12分）
证明: (1) 
表示没有用水清洗时, 蔬菜上的农药量没有变化. …………(2分)
(2)设清洗前蔬菜上的农药量为1,那么用单位量的水清洗1次后.残留的农药量为
…………(4分)
又如果用单位量的水清洗1次,
残留的农药量为
此后再用单位量的水清洗1次后, 残留的农药量为
…………(8分)
由于
…………(9分)
故当
时, 
, 此时, 把a单位量的水平均分成2份后,
清洗两次, 残留的农药量较少
当
时, 
, 此时, 两种清洗方式效果相同;
当
时, 
, 此时, 把a单位量的水清洗一次, 残留的农药量较少. …………(12分)
20．解: (1) ∵
∴
…………(1分)
∵, ∴
又∵二次函数
的图象开口向上,
∴在内
, 故在内是减函数.
(2)设极值点为
则
…………(7分)
当
时, ∵
∴在
内
在
内
即在内是增函数, 在内是减函数.
当时在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ……(9分)
当
时, 同理可知, 在内且只有一个极值点, 且是极小值点. …………(10分)
当
时, 由(1)知在内没有极值点. …………(11分)
故所求a的取值范围为
…………(12分)
21．（本小题满分12分）
解: (1)由已知, 
∴
所以求双曲线C的方程为
…………(4分)
(2)设P的坐标为
, M, N的纵坐标分别为
…………(5分)
∵
, ∴
…………(6分)
∵
与共线, ∴
同理
…………(8分)
∵
∴·＝
…………(10分)
＝
…………(12分)
22．（本小题满分14分）
解: (1) ∵
∴
∵
∴
……(2分)
∵
∴
∴
…………(4分)
(2)由
可归纳出
是公比为
的等比数列, ……(5分)
故
…………(6分) 由
可归纳出
是公比为的等比数列,…………(8分)
故
即
…………(9分)
(3)由()2知
…………(10分)
∵
∴
∴
又
∴
…………(13分) ∴…………(14分)